La formula di MacLaurin della funzione esponenziale
Lo sviluppo della serie di MacLaurin della funzione esponenziale è $$ e^x = 1 + x + \frac{x^2}{2!} + \frac{x^3}{3!} - ... + \frac{x^n}{n!} + o(x^n) $$
Dimostrazione
Considero la formula di MacLaurin
$$ f(x) = \sum_{k=0}^{n} \frac{f^{(k)}(0)}{k!} \cdot x^k + o(x^n) $$
In questo caso f(x)=ex
Per k=0
Sapendo che la funzione f(0)=f(x)=ex
$$ \frac{f^{(0)}(0)}{0!} \cdot x^0 = \frac{e^0}{0!} \cdot x^0= \frac{1}{1} \cdot 1 = 1 $$
Quindi il primo termine della serie di MacLaurin è
$$ e^x = 1 + o[x^0]$$
$$ e^x = 1+o[1] $$
Per k=1
La derivata prima di ex è sempre ex
$$ \frac{f^{(1)}(0)}{1!} \cdot x^1 = \frac{D[e^0]}{1!} \cdot x^1 = \frac{e^0}{1} \cdot x = \frac{1}{1} \cdot x = x $$
Quindi il secondo termine della serie di MacLaurin di ordine 1 è x
$$ e^x = 1 + x + o[x^1]$$
Per k=2
La derivata seconda di ex è uguale a se stessa ossia ex
$$ \frac{f^{(2)}(0)}{2!} \cdot x^2 = \frac{D^{(2)}e^0}{2!} \cdot x^2 = \frac{1}{2!} \cdot x^2 = \frac{1}{2} \cdot x^2 $$
Quindi la serie di MacLaurin di ordine 2 è
$$ e^x = 1 + x + \frac{1}{2} \cdot x^2 + o[x^2]$$
Per k=3
La derivata terza dell'esponenziale è uguale a ex
$$ \frac{f^{(3)}(0)}{3!} \cdot x^3 = \frac{D^{(3)}e^0}{3!} \cdot x^3 = \frac{1}{3!} \cdot x^3 $$
Quindi la serie di MacLaurin di ordine 3 è
$$ e^x = 1 + x + \frac{1}{2} \cdot x^2 + \frac{1}{3!} \cdot x^3 + o[x^3]$$
Per k=4
La derivata terza dell'esponenziale è ex
$$ \frac{f^{(4)}(0)}{4!} \cdot x^4 = \frac{D^{(4)}e^0}{4!} \cdot x^4 = \frac{e^0}{4!} \cdot x^4 = \frac{1}{4!} \cdot x^4 $$
Quindi la serie di MacLaurin di ordine 4 è
$$ e^x = 1 + x + \frac{1}{2} \cdot x^2 + \frac{1}{3!} \cdot x^3 + \frac{1}{4!} \cdot x^4 + o[x^4]$$
Per k=5
La derivata terza dell'esponenziale è ex
$$ \frac{f^{(5)}(0)}{5!} \cdot x^5 = \frac{D^{(5)}e^0}{5!} \cdot x^5 = \frac{1}{5!} \cdot x^5 $$
Quindi la serie di MacLaurin di ordine 5 è
$$ e^x = 1 + x + \frac{1}{2} \cdot x^2 + \frac{1}{3!} \cdot x^3 + \frac{1}{4!} \cdot x^4 + \frac{1}{5!} \cdot x^5 +o[x^5]$$
Dal punto di vista grafico
E così via.
