Il reticolo distributivo
Un reticolo distributivo è un reticolo (S,≥) che soddisfa le proprietà distributive:
$$A ∧ (B ∨ C) = (A ∧ B) ∨ (A ∧ C)$$ $$ A ∨(B ∧ C) = (A ∨ B) ∧ (A ∨ C) $$
La proprietà distributiva non è soddisfatta da tutti i reticoli.
I reticoli che la soddisfano sono detti reticoli distributivi.
Come riconoscere i reticoli distributivi
Per capire se il reticolo è distributivo, costruisco il suo diagramma di Hasse e verifico se contiene un sottoreticolo diamante o pentagono.
I reticoli diamante o pentagono non sono reticoli distributivi.
Sono i più piccoli tra i reticoli non distributivi.
Secondo il teorema di Birkoff, un reticolo è distributivo se e solo se non ha sottoreticoli isomorfi al reticolo diamante o pentagono.
Se un reticolo li contiene, a sua volta eredita le proprietà dei sottoreticoli e non è un reticolo distributivo.
Un reticolo isomorfo a un altro reticolo ha le stesse proprietà.
Se un reticolo non contiene i reticoli diamante o pentagonale è un reticolo distributivo.
Devo però dimostrare che i reticoli a diamante o pentagonale non sono distributivi.
Diamante
Prendo come riferimento i punti d,b,e
Poi verifico se risponde alla proprietà distributiva dell'unione ∨ rispetto all'intersezione ∧.
$$ d ∨ ( b ∧ e ) = ( d ∨ b ) ∧ ( d ∨ e ) $$
Svolgo il membro di sinistra.
L'espressione b intersecato e ( b ∧ e ) equivale a inf(b,e) = a.
$$ d ∨ a = ( d ∨ b ) ∧ ( d ∨ e ) $$
L'espressione d unito a ( d ∨ a ) equivale a sup(d,a) = d.
$$ d = ( d ∨ b ) ∧ ( d ∨ e ) $$
Ora svolgo il membro di destra.
L'espressione d unito b ( d ∨ b ) equivale a sup(d,b) = c.
$$ d = c ∧ ( d ∨ e ) $$
L'espressione d unito e ( d ∨ e ) equivale a sup(d,e) = c.
$$ d = c ∧ c $$
Per la proprietà idempotenza c ∧ c è uguale a c
$$ d = c $$
Quindi, il reticolo non soddisfa la proprietà distributiva.
Non è un reticolo distributivo.
Pentagono
Prendo come riferimento i punti b,d,e
Poi verifico se risponde alla proprietà distributiva dell'unione ∨ rispetto all'intersezione ∧.
$$ e ∨ ( d ∧ b ) = ( e ∨ d ) ∧ ( e ∨ b ) $$
Svolgo il membro di sinistra.
L'espressione d intersecato b ( d ∧ b ) equivale a inf(d,b) = a.
$$ e ∨ a = ( e ∨ d ) ∧ ( e ∨ b ) $$
L'espressione e unito a ( e ∨ a ) equivale a sup(e,a) = e.
$$ e = ( e ∨ d ) ∧ ( e ∨ b ) $$
Ora svolgo il membro di destra.
L'espressione e unito b ( e ∨ b ) equivale a sup(e,b) = c.
$$ e = ( e ∨ d ) ∧ c $$
L'espressione e unito d ( e ∨ d ) equivale a sup(e,d) = d.
$$ e = d $$
Quindi, il reticolo pentagonale non soddisfa la proprietà distributiva.
Non è un reticolo distributivo.
Corollari
Ci sono importanti corollari che semplificano la vita.
Corollario 1
Tutti i reticoli di ordine inferiore a 5 sono reticoli distributivi
Dimostrazione
I reticoli distributivi diamante e pentagonale sono i più piccoli reticoli non distributivi.
Essendo reticoli di ordine 5, è ovvio che qualsiasi reticolo di ordine inferiore è distributivo.
Corollario 2
I reticoli totalmente ordinati sono distributivi
Dimostrazione
Nei reticoli totalmente ordinati tutti gli elementi sono direttamente confrontabili tra loro.
Esempio
Viceversa, nei reticoli parzialmente ordinati, come il diamante o il pentagono, alcuni nodi non sono direttamente confrontabili.
La legge di cancellazione
In un reticolo distributivo L è sempre soddisfatta la legge di cancellazione.
$$ \begin{cases} a ∧ b = a ∧ c \\ a ∨ b = a ∨ c \end{cases} \rightarrow b=c \:\:\:\: \forall a,b,c \in L $$
E così via
