Il teorema di Thévenin
Qualunque circuito lineare visto da due nodi a-b è equivalente a un generatore di tensione in serie a un resistore.
Come funziona
Suddivido un circuito in due sotttocircuiti separati da due nodi a-b.
Il sottocircuito a destra dei nodi a-b è detto carico (load). E' il circuito da studiare. In genere è un elemento variabile ma non solo.
Il sottocircuito a sinistra dei nodi a-b è un circuito lineare con elementi fissi. E' il circuito da sostituire con il circuito equivalente di Thevenin.
Nota. Due circuiti sono equivalenti se hanno la stessa relazione voltaggio/corrente ai terminali a-b. $$ V_{ab}=V_{Th} $$
A cosa serve il teorema di Thevenin
E' molto utile nell'analisi dei circuiti perché mi permette di semplificare un circuito sostituendolo con un generatore di tensione indipendente e una resistenza.
Come calcolare il circuito equivalente
Per calcolare il circuito equivalente di Thévenin devo calcolare il voltaggio del generatore (VTh) e la resistenza equivalente (RTh).
- Il generatore di tensione equivalente ha il voltaggio Vth pari alla differenza di potenziale Vab tra i due nodi a-b a circuito aperto (a vuoto).
- La resistenza equivalente si ottiene cortocircuitando i generatori di tensione indipendenti e aprendo i generatori di corrente indipendenti.
Nota. Se nel circuito ci sono anche generatori dipendenti, questi non possono essere spenti perché sono controllati da variabili del circuito.
Un esempio pratico
Ho un circuito di cui devo studiare la tensione vo e la corrente io in RL
Separo la parte del circuito che mi interessa dal resto del circuito, inserendo due nodi a-b.
La parte di destra del circuito è il carico (load) ossia il sottocircuito che voglio studiare.
Il sottocircuito di sinistra non è invece importante per l'analisi.
Applico il teorema di Thevenin per semplificare la parte sinistra del circuito.
Per prima cosa devo calcolare la differenza di tensione ai terminali a-b.
In questo caso posso applicare la regola del partitore di tensione.
$$ v_O = V_{in} \cdot \frac{R_2 }{R_1 + R_2} $$
$$ v_0 = 10 \frac{1000 }{1000 + 1000} = 5V $$
Pertanto, nel circuito equivalente il generatore di Thevenin eroga una tensione di Vth=5V.
Ora devo calcolare la resistenza equivalente Rth.
Per farlo devo circuitare il generatore di tensione indipendente.
Poi applico una tensione di 1V in entrata ai terminali a-b per calcolare il resistore equivalente di R1 e R2.
Le resistenze R1 e R2 sono in parallelo.
$$ R_1 \: || \: R_2 = \frac{R_1 \cdot R_2}{ R_1 + R_2 } $$
$$ R_1 \: || \: R_2 = \frac{1000 \cdot 1000}{ 1000 + 1000 } = 500 Ω $$
Pertanto, il resistore equivalente di Thevenin ha una resistenza di 500.
$$ R_{Th} = 500Ω $$
Una volta trovati i valori del generatore di tensione VTh=5V e del resistore RTh=500Ω, posso costruire il circuito equivalente di Thevenin.
Il sottocircuito ha la stessa relazione corrente/tensione ai terminali a-b del precedente ma è molto più semplice.
Per completare il circuito di Thevenin devo soltanto aggiungere il sottocircuito di destra (carico).
A questo punto posso calcolare facilmente la corrente Io usando la legge di Ohm sul circuito di Thevenin
$$ V_{Th} = I_O \cdot ( R_{Th} + RL ) $$
$$ 5 = I_O \cdot ( 500 + 2200 ) $$
$$ I_O = \frac{5}{2700} = 0.00185 \: A = 1.85 \: mA $$
Infine, una volta trovata la corrente Io=1.85 mA non mi resta che calcolare la tensione Vo sull'elemento RL tramite la legge di Ohm.
$$ V_{O} = I_{Th} \cdot RL $$
$$ V_{O} = 0.00185 \cdot 2200 $$
Nota. La corrente va indicata in Ampere e non in mA.
$$ V_{O} = 0.00185 \cdot 2200 = 4.07 \: V $$
Ho trovato anche il dato sulla tensione Vo.
Nota. Il generatore di tensione eroga una tensione di 5V ma soltanto 4V giungono ai terminali a-b perché circa 1V viene assorbito dalla resistenza RTh. $$ V_{th} = i_o \cdot R_{Th} = 0.00185 \cdot 500 = 0.925 V $$
E così via.
