La moltiplicazione tra numeri complessi in forma trigonometrica

Dati due numeri complessi in forma trigonometrica $$ z= d \cdot ( \cos a + i \cdot \sin a) $$ $$ z'= d' \cdot ( \cos a' + i \cdot \sin a') $$ il prodotto dei numeri è uguale al prodotto dei moduli e alla somma degli argomenti $$ z \cdot z' = (d \cdot d') \cdot [ \cos(a+a') + i \cdot \sin(a+a') ] $$

Un esempio pratico

Prendo in considerazione due numeri complessi

$$ z=1+3i $$

$$ z'=4+2i $$

Il loro prodotto è

$$ z \cdot z' = $$

$$ (1+3i) \cdot (4+2i) = $$

$$ 4 + 2i + 12i +6i^2 = $$

$$ 4 + 14i - 6 = $$

$$ = -2 + 14i $$

Provo a rifare il calcolo con i numeri in forma trigonometrica

$$ z = 3.16 \cdot ( \cos 71.57° + i \cdot \sin 71.57° ) $$

$$ z' = 4.47 \cdot ( \cos 26.57° + i \cdot \sin 26.57° ) $$

Spiegazione. Gli angoli sono indicati in gradi mentre i valori d e d' misurano le lunghezze dei due segmenti.

Nel calcolo ho approssimato i valori d e d' per semplificare la lettura. $$ d = \sqrt{1^2+3^2}=\sqrt{10} ≅ 3.16 \\ d' = \sqrt{4^2+2^2}=\sqrt{20}≅ 4.47 $$

Utilizzo la formula del prodotto tra numeri complessi in forma trigonometrica

$$ z \cdot z' = (d \cdot d') \cdot [ \cos(a+a') + i \cdot \sin(a+a') ] = $$

$$ (3.16 \cdot 4.47) \cdot [ \cos(71.57°+26.57°) + i \cdot \sin(71.57°+26.57°) ] = $$

$$ 14.1252 \cdot [ \cos(98.14°) + i \cdot \sin(98.14°) ] = $$

$$ 14.1252 \cdot \cos(98.14°) + 14.1252 \cdot i \cdot \sin(98.14°) = $$

$$ -2 + 14 i $$

Il risultato è lo stesso

La dimostrazione

Un numero complesso

$$ z=x+i \cdot y $$

può essere rappresentato in modo equivalente anche in forma trigronometrica

$$ z= d \cdot ( \cos a + i \cdot \sin a) $$

Dati due numeri complessi z e z' in forma trigonometrica

$$ z= d \cdot ( \cos a + i \cdot \sin a) $$ $$ z'= d' \cdot ( \cos a' + i \cdot \sin a') $$

Calcolo il prodotto algebrico dei due numeri

$$ z \cdot z' = $$

$$ d \cdot ( \cos a + i \cdot \sin a) \cdot d' \cdot ( \cos a' + i \cdot \sin a') = $$

$$ (d \cdot d' ) \cdot [ ( \cos a + i \cdot \sin a) \cdot ( \cos a' + i \cdot \sin a') ] = $$

$$ (d \cdot d' ) \cdot [ \cos a \cdot ( \cos a' ) + \cos a \cdot ( i \cdot \sin a' ) + i \cdot \sin a \cdot ( \cos a' ) + i \cdot \sin a \cdot ( i \cdot \sin a') ] = $$

$$ (d \cdot d' ) \cdot [ \cos a \cdot \cos a' + i \cdot \cos a \cdot \sin a' + i \cdot \sin a \cdot \cos a' + i^2 \cdot \sin a \cdot \sin a' ] = $$

Poiché l'unità immaginaria i²=-1

$$ (d \cdot d' ) \cdot [ \cos a \cdot \cos a' + i \cdot \cos a \cdot \sin a' + i \cdot \sin a \cdot \cos a' - \sin a \cdot \sin a' ] = $$

Raggruppo i termini

$$ (d \cdot d' ) \cdot [ ( \cos a \cdot \cos a' - \sin a \cdot \sin a' ) + i \cdot ( \cos a \cdot \sin a' + \sin a \cdot \cos a' ) ] = $$

Nota. Sapendo che in trigonometria la somma degli angoli è $$ \sin (A+B) = \sin A \cos B + \cos A \sin B $$ $$ \sin (A-B) = \sin A \cos B - \cos A \sin B $$ $$ \cos(A+B) = \cos A \cos B - \sin A \sin B $$ $$ \cos(A-B) = \cos A \cos B + \sin A \sin B $$

$$ (d \cdot d' ) \cdot [ \cos (a+a') + i \cdot ( \sin(a+a') ] = $$

Ho ottenuto la formula del prodotto dei numeri complessi in forma trigonometrica.

E così via.