L'implicazione e la coimplicazione logica

Date due proposizioni logiche p e q è possibile definire un'operazione di implicazione o di coimplicazione.

Le implicazioni logiche

L'implicazione logica mette in relazione una proposizione antecedente con un'altra proposizione conseguente, per mettere in relazione i loro valori di verità.
la notazione della implicazione logica

La precedente notazione si legge "p implica q" oppure "se p allora q".

E' anche detta condizionale.

La tavola di verità dell'implicazione logica.

la tavola logica dell'implicazione

Attenzione. Essendo un discorso di logica matematica, non è importante che le proposizioni siano vere o false, né che ci sia una relazione di causa ed effetto tra le proposizioni.

C'è una differenza tra l'implicazione logica e il linguaggio comune.

  1. Linguaggio comune. Nel linguaggio comune dire "se A allora B" si presuppone un rapporto di causa ed effetto tra la proposizione antecedente e conseguente.

    Esempio. Se "piove" allora "prendo l'ombrello".

  2. Logica matematica. Nella logica matematica, invece, non si indaga sulla relazione di causa ed effetto, né è importante che le proposizioni siano vere o false. Ciò che conta è la correttezza formale.

    Esempio. Se "piove" allora "suona il telefono".

Esempio

La proposizione p è "2x2=4" mentre la proposizione q è "la Terra è piatta".

La proposizione p⇒q è vera in tutti i casi, salvo quando p è vera e q è falsa.

Nota. Se p è falsa e q è vera o falsa, resta comunque valida l'implicazione p⇒q. Viceversa, se p è vera e q è falsa, l'implicazione p⇒q non è confermata, per questa ragione è falsa.

Le coimplicazioni logiche

Le coimplicazioni logiche mettono in relazione due proposizioni logiche con una doppia implicazione bicondizionale.
la notazione della coimplicazione logica

E' anche detta bicondizionale.

Formalmente la coimplicazione è composta da due implicazioni legate tra loro da una congiunzione logica.

la coimplicazione nella forma esesa

La tabella di verità della coimplicazione è la seguente:

la coimplicazione logica

In sintesi, la coimplicazione è vera soltanto se le proposizioni logiche hanno lo stesso valore di verità vero o falso che sia.

Nota. La tabella può essere rappresentata anche nella forma più estesa (p⇒q)∧(q⇒p) che rende più facile la comprensione dei valori di verità della coimplicazione p⇔q.
la doppia implicazione logica

Anche in questo caso, devo specificare che nella logica matematica, a differenza del linguaggio comune, non c'è una relazione di causa ed effetto tra le proposizioni, né è importante che siano effettivamente affermazioni vere.

Ciò che conta è la correttezza formale del ragionamento.

Esempio

La proposizione è "2x2=4" mentre la proposizione q è "la Terra è piatta".

la proposizione p⇔q è vera solo quando p e q hanno lo stesso valore di identità.

Nota. Se p è vera e q è falsa, l'implicazione p⇒q è falsa. Quindi, anche la coimplicazione (p⇒q)∧(q⇒p) è falsa. Lo stesso accade se q è vera e p è falsa, l'implicazione q⇒p è falsa e anche la coimplicazione (p⇒q)∧(q⇒p) è falsa.

 


 

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