Limiti

Cos'è il limite

Il limite è uno strumento della matematica per studiare l'andamento di una funzione o di una successione quando il suo argomento x (nel caso delle funzioni) o l'indice (nel caso delle successioni) tende a un certo valore x₀ finito o infinito. $$ \lim_{x \rightarrow x_0 } $$

Il limite di una successione

Il limite di una successione an descrive l'andamento della successione al crescere dell'indice n.

$$ \lim_{n \rightarrow x_0 } a_n = l $$

Dove x₀ può essere un numero reale finito, più o meno infinito.

Il limite di una funzione

Il limite di una funzione f(x) descrive l'andamento della funzione quando l'argomento x tende a un determinato valore x₀.

$$ \lim_{x \rightarrow x_0 } f(x) = l $$

Dove x₀ può essere un numero reale finito, più o meno infinito.

La definizione generale di limite

La definizione di limite può essere generalizzata sia per le successioni che per le funzioni, poiché una successione è una particolare funzione f:N→R.

Inoltre, da una funzione f(x) è sempre possibile estrarre una successione di termini a_n=f(n) con n∈N.

Data una funzione f(x) definita nell'insieme I di R e un punto di accumulazione x₀∈(-∞,+∞) per I, la funzione f(x) ha un limite uguale a l∈(-∞,+∞) per x che tende a x₀ se per ogni intorno U di l esiste un intorno V di x₀ tale che $$ x \in V-\{x_0\} \Rightarrow f(x) ∈ U $$

Poiché l'insieme dei numeri naturali N ha un solo punto di accumulazione pari a più infinito, nel caso delle successioni si calcola la successione soltanto per n→∞.

$$ \lim_{n \rightarrow ∞} a_n = l $$

Ecco la rappresentazione grafica del limite di una successione a_n.

E così via.