La successione infinitesima
Una successione limitata an è detta infinitesima se converge a zero. $$ \lim_{n \rightarrow ∞} a_n = 0 $$
Un esempio pratico
Ho la successione
$$ a_n = \frac{1}{n} $$
La successione converge a zero per n tendente a infinito.
$$ \lim_{n \rightarrow ∞} \frac{1}{n} = 0 $$
Pertanto, è una successione infinitesima.
Le proprietà delle successioni infinitesime
Una successione an converge a zero soltanto se il modulo della successione |an| converge a zero. $$ \lim_{n \rightarrow ∞} a_n = 0 \Rightarrow \lim_{n \rightarrow ∞} |a_n| = 0 $$
Esempio
Questa successione an è infinitesima
$$ a_n = \frac{1}{-n} $$
perché converge a zero per n tendente a infinito
$$ \lim_{n \rightarrow ∞} \frac{1}{-n} = 0 $$
anche il valore assoluto della successione |an| converge a zero
$$ \lim_{n \rightarrow ∞} | \frac{1}{-n} | = 0 $$
Dimostrazione
Considero il modulo della successione an come una successione a parte bn
$$ b_n = |a_n| $$
Secondo la definizione del limite, una successione è convergente se
$$ \forall e>0, \exists v : |b_n-l|<e \:\:\: \forall n>v $$
Nel caso di una successione infinitesima l=0, quindi posso riscrivere la condizione nel seguente modo
$$ \forall e>0, \exists v : |b_n|<e \:\:\: \forall n>v $$
Poiché |bn|=||an||=|an|
Si deduce così l'equivalenza con la convergenza a zero del modulo della successione an.
E così via.
