Funzione costante in un intervallo

Una funzione f(x) è una funzione costante in un intervallo [a,b] se e solo se la funzione è derivabile in [a,b] e la derivata prima è nulla in ogni punto dell'intervallo. $$ \forall x \in [a,b] \:\:\:\:\: f'(x)=0 $$

E' detto teorema di caratterizzazione delle funzioni costanti.

Un esempio pratico

Queste funzioni sono costanti

$$ f(x) = 2 \\ g(x)=3 $$

Per qualsiasi x la funzione f(x) è sempre uguale a 2 e la g(x) è sempre uguale a 3.

La derivata prima delle funzioni f(x) e g(x) è nulla

$$ f'(x) = 0 \\ g'(x)=0 $$

In entrambi i casi la derivata è uguale a zero perché la derivata di una costante k è sempre uguale a zero.

$$ \frac{d k}{d x} = 0 $$

Dimostrazione e spiegazione

1] Una funzione costante ha derivata prima uguale a zero

Data una funzione f(x) è costante in ogni punto dell'intervallo [a,b]

$$ f(x) = c $$

Calcolo il limite del rapporto incrementale per h→0 in un punto x ∈ [a,b] ossia la derivata prima di f'(x)

$$ f'(x)= \lim_{h \rightarrow 0} \frac{f(x+h)-f(x)}{h} $$

Essendo una funzione costante

$$ f(x)=c \\ f(x+h)=c $$

Sostituisco f(x) e f(x+h) con la costante c nel rapporto incrementale

$$ f'(x)= \lim_{h \rightarrow 0} \frac{f(x+h)-f(x)}{h} $$

$$ f'(x)= \lim_{h \rightarrow 0} \frac{c-c}{h} $$

$$ f'(x)= \lim_{h \rightarrow 0} \frac{0}{h} $$

Pertanto, per h tendente a zero il limite è sempre nullo.

$$ f'(x)= 0 $$

2] Una funzione con derivata prima uguale a zero è una funzione costante

Se la funzione è derivabile in [a,b] e la derivata è nulla in ogni punto x di [a,b]

$$ f'(x) = 0 $$

allora soddisfa entrambi i criteri di monotonia

$$ \begin{cases} f'(x) \ge 0 \\ f'(x) \le 0 \end{cases} $$

E' sia contemporaneamente crescente che decrescente in ogni x ∈ [a,b]

Preso un punto x>a qualsiasi dell'intervallo

$$ x>a $$

La funzione f(x) risulta

$$ \begin{cases} f(x) \ge f(a) \\ f(x) \le f(a) \end{cases} $$

L'unica soluzione del sistema è

$$ f(x) = f(a) $$

Pertanto, in qualsiasi punto x>0 la funzione f(x) è uguale a f(a)

Ho così dimostrato che una funzione costante ha derivata nulla e viceversa.

E così via.