Come trovare una matrice inversa con valori interi
Una matrice inversa ha valori interi se la matrice invertibile ha il determinante uguale a 1. Quindi, per trovare una matrice inversa con valori interi, devo cercare una matrice con determinante uguale a 1.
Le matrici 2x2 con determinante uguale a 1
Considero una generica matrice 2x2 con determinante unitario
$$ \det \begin{pmatrix} a & b \\ c & d \end{pmatrix} = 1 $$
Sapendo che il determinante è l'equazione
$$ ad - bc = 1 $$
Mi basta dei valori a,b,c,d che soddisfano l'equazione precedente.
Ad esempio, se ad=9 e bc=8 l'equazione è soddisfatta.
Per ottenere ad=9 posso assegnare a=3 e d=3
In questo modo ottengo la matrice
$$ M = \begin{pmatrix} 3 & 2 \\ 4 & 3 \end{pmatrix} $$
Per ottenere bc=8 posso assegnare b=2 e c=4 oppure b=4 e c=2.
Il risultato è una matrice 2x2 con determinante unitario.
$$ \det M = \det \begin{pmatrix} 3 & 2 \\ 4 & 3 \end{pmatrix} = 1 $$
Avendo un determinante unitario, la matrice è invertibile e la sua matrice inversa è composta esclusivamente da valori interi.
$$ M^{-1 } = \begin{pmatrix} 3 & -2 \\ -4 & 3 \end{pmatrix} $$
Verifica. Calcolo il prodotto tra la matrice M e la sua inversa M-1 $$ M \cdot M^{-1} = \begin{pmatrix} 3 & 2 \\ 4 & 3 \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} 3 & -2 \\ -4 & 3 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix} $$ Il risultato è la matrice identità.
Le matrici 3x3 con determinante uguale a 1
Scelgo dei valori qualsiasi a,b,c,d,e,f
Poi calcolo il prodotto di queste matrici
$$ \begin{pmatrix} 1 & a & b \\ 0 & 1 & c \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ d & 1 & 0 \\ e & f & 1 \end{pmatrix} $$
Il risultato è una matrice 3x3 con determinante uguale a 1.
$$ \det [ \begin{pmatrix} 1 & a & b \\ 0 & 1 & c \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ d & 1 & 0 \\ e & f & 1 \end{pmatrix} ] = 1 $$
In questo modo ottengo una matrice invertibile, la cui matrice inversa è composta esclusivamente da valori interi.
Ad esempio, scelgo i valori a=1, b=2, c=3, d=4, e=5, f=6
$$ M = \begin{pmatrix} 1 & 1 & 2 \\ 0 & 1 & 3 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 4 & 1 & 0 \\ 5 & 6 & 1 \end{pmatrix} $$
$$ M = \begin{pmatrix} 15 & 13 & 2 \\ 19 & 19 & 3 \\ 5 & 6 & 1 \end{pmatrix} $$
La matrice prodotta ha sicuramente un determinante unitario
$$ \det M = \det \begin{pmatrix} 15 & 13 & 2 \\ 19 & 19 & 3 \\ 5 & 6 & 1 \end{pmatrix} = 1 $$
Quindi, la sua matrice inversa è composta esclusivamente da valori interi
$$ M^{-1} = \begin{pmatrix} 1 & -1 & 1 \\ -4 & 5 & -7 \\ 19 & -25 & 38 \end{pmatrix} $$
E così via.
