Vettore T invariante di supporto minimo

Un vettore T-invariante y è di supporto minimo se non esiste un altro vettore T-invariante y' tale che $$ || y' || ⊂ ||y|| $$

Il simbolo ||x|| indica il supporto del vettore x.

Un esempio pratico

Ho una rete marcata con tre transizioni e due posti.

Calcolo la matrice di incidenza C della rete tramite la differenza della matrice Post e Pre transizioni.

$$ C = \begin{pmatrix} 0 & 1 & 0 \\ 2 & 0 & 0 \end{pmatrix} - \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 1 \end{pmatrix} = $$

$$ C = \begin{pmatrix} -1 & 1 & 0 \\ 2 & -1 & -1 \end{pmatrix} $$

Il vettore y = [1 1 1] è T-invariante perché

$$ C \cdot y_I = 0 $$

$$ \begin{pmatrix} -1 & 1 & 0 \\ 2 & -1 & -1 \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix} $$

Il supporto del vettore y è

$$ ||y|| = \{ t_1 \: t_2 \: t_3 \} $$

Cos'è il supporto? Il supporto è un insieme contenente le transizioni in cui gli elementi del vettore hanno valori non nulli. In questo caso il vettore è y=[1,1,1] quindi tutte le transizioni sono attive ||y|| = {t_1,t_2,t_3}

Analizzo l'insieme delle parti del supporto ||y|| per verificare se qualche sottoinsieme non nullo di ||y|| corrisponde a un vettore T-invariante

$$ \{ t_1 \: t_2 \} = C \cdot [1,1,0]^T = [0,1] $$

$$ \{ t_1 \: t_3 \} = C \cdot [1,0,1]^T = [-1,1] $$

$$ \{ t_2 \: t_3 \} = C \cdot [0,1,1]^T = [1,-2] $$

$$ \{ t_1 \} = C \cdot [1,0,0]^T = [-1,2] $$

$$ \{ t_2 \} = C \cdot [0,1,0]^T = [1,-1] $$

$$ \{ t_3 \} = C \cdot [0,0,1]^T = [0,-1] $$

Nessun vettore corrispondente ai sottoinsiemi di ||y|| è T-invariante.

Quindi, il vettore y=[1,1,1] è un vettore T-invariante di supporto minimo.

E così via.