Numeri autobiografici

Un numero autobiografico (autobiographical number) è un numero intero composto da cifre che forniscono informazioni sul numero stesso.

Non tutti i numeri sono autobiografici.

Pertanto, i numeri autobiografici sono un sottoinsieme dei numeri interi.

Un esempio pratico

Il numero 1210 è un numero autobiografico perché

• la prima cifra "1" (migliaia) mi dice che c'è un solo 0 nel numero 1210.
• la seconda cifra "2" (centinaia) mi dice che ci sono due 1 nel numero 1210.
• la terza cifra "1" (decine) mi dice che c'è un solo 2 nel numero 1210.
• la quarta cifra "0" (unità) mi dice non ci sono 3 nel numero 1210.

Nota. Allo stesso modo potrei dire che la quarta cifra "0" indica che non ci sono 4 o 5 nel numero 1210. Inoltre, potrei dire che la prima cifra "1" indica che c'è solo 2 nel numero 1210 e la terza cifra "1" che c'è un solo 0 nel numero 1210.

Le proprietà dei numeri autobiografici

I numeri autobiografici hanno le seguenti proprietà

• Un numero autobiografico può contenere al massimo un numero di cifre pari alla base.

  Esempio. Un qualsiasi numero autobiografico in base 10 non può contenere 11 cifre. L'undicesima cifra non fornirebbe alcuna informazione aggiuntiva sul numero. Non avrebbe senso. Quindi, l'insieme dei numeri autobiografici è un insieme finito.

• Un numero autobiografico può contenere un numero di cifre inferiore alla base.

  Esempio. Il numero 1210 in base 10 è composto solo da 4 cifre. E' comunque un numero autobiografico.

• I numeri autobiografici sono molto pochi.

Ad esempio, i numeri autobiografici in base 10 sono soltanto sette numeri

• 1210
• 2020
• 21200
• 3211000
• 42101000
• 521001000
• 6210001000

Quindi, l'insieme dei numeri autobiografici in base 10 è composto da 7 elementi.

La differenza tra numeri autobiografici e autodescrittivi

I numeri autobiografici sono una generalizzazione dei numeri autodescrittivi (self-descriptive number).

Entrambi forniscono informazioni sul numero stesso.

Tuttavia, c'è una differenza.

• I numeri autobiografici possono avere anche un numero di cifre inferiore alla base. Ad esempio, il numero 1210 è un numero in base 10 ma ha 4 cifre.

  Spiegazione. La prima cifra "1" dice che c'è un due nel numero. La seconda cifra "2" dice che ci sono due uno nel numero. La terza cifra "1" dice che c'è uno zero nel numero. La quarta cifra "0" dice che non c'è il tre nel numero.

• I numeri autodescrittivi hanno sempre un numero di cifre uguale alla base. Ad esempio il numero 6210001000 è un numero autodescrittivo.

  Spiegazione. La prima cifra "6" dice che ci sono sei zeri nel numero. La seconda cifra "2" dice che ci sono due uno. La terza cifra "1" dice che c'è un sei nel numero. La quarta cifra cifra "0" dice che non c'è il tre. La quinta cifra cifra "0" dice che non c'è il quattro. La sesta cifra cifra "0" dice che non c'è il cinque. La settima cifra "1" dice che c'è un due. L'ottava cifra "0" dice che non c'è il sette. La nona cifra "0" dice che non c'è l'otto. La decima cifra dice che non c'è il nove.

In pratica, un numero autodescrittivo motiva l'assenza di tutte le cifre del sistema numerico (base) non presenti nel numero.

Viceversa, un numero autobiografico non deve motivare necessariamente l'assenza di tutte le cifre del sistema numerico (base) non presenti nel numero.

Pertanto, un numero autodescrittivo è anche un numero autobiografico ma non è detto il contrario.

Un numero autobiografico potrebbe non essere autodescrittivo.

Esempio 1

Nel numero autobiografico 1210 il quarto zero mi dice che non c'è il "3" nel numero. Il numero 1210 però non dice nulla sulle altre cifre della base dieci non presenti nel numero (4,5,6,7,8,9).

Quindi, il numero 1210 è un numero autobiografico in base 10 ma non è anche un numero autodescrittivo.

Esempio 2

Il numero 62100010002 è un numero autodescrittivo in base 10.

E' anche un numero autobiografico sempre in base 10.

I numeri autobiografici in basi diverse

Il concetto di numero autobiografico posso applicarlo anche in basi diverse da quella decimale.

Esistono numeri autobiografici anche nel sistema ottale (base 8), esadecimale (base 16), in base 4, 5, 9 ecc.

Esempio. Il numero 1210 è un numero in base 10 ma anche in base 4, dove indica l'equivalente del numero 100 decimale. In entrambe le basi (b=10, b=4) le cifre del numero 1210 forniscono una descrizione del numero stesso. Pertanto, il numero 1210 è un numero autobiografico sia in base 10 che in base 4, e non solo. Lo stesso può dirsi in base 5, ecc.

Ci sono però delle basi in cui i numeri autobiografici non sono definiti.

Ad esempio, non esistono numeri autobiografici nel sistema binario (base 2).

E così via.