Limite funzione di due variabili 2
Devi risolvere questo limite di una funzione di due variabile
$$ \lim_{x,y \rightarrow (0,0)} \frac{x^2 \cdot y}{x^2+y^2} $$
Per risolvere un limite di una funzione di due variabili quando entrambe le variabili tendono a zero, posso utilizzare l'approccio polare.
Sostitisco x e y con le rispettive coordinate polari
$$ x = r \cos(\theta) $$
$$ y = r \sin(\theta) $$
Dove \( r \) è il raggio e \( \theta \) è l'angolo.
Inoltre, per il teorema di Pitagora
$$ r^2 = x^2+y^2 $$
Quindi, posso trasformare la funzione dalle coordinate cartesiane alle coordinate polari.
$$ \lim_{x,y \rightarrow (0,0)} \frac{x^2 \cdot y}{x^2+y^2} $$
$$ \lim_{x,y \rightarrow (0,0)} \frac{[r \cos(\theta)]^2 \cdot r \sin(\theta)}{r^2} $$
$$ \lim_{x,y \rightarrow (0,0)} \frac{r^2 \cos^2(\theta) \cdot r \sin(\theta)}{r^2} $$
$$ \require{cancel} \lim_{x,y \rightarrow (0,0)} \frac{\cancel{r^2} \cos^2(\theta) \cdot r \sin(\theta)}{\cancel{r^2}} $$
$$ \lim_{x,y \rightarrow (0,0)} r \cdot \cos^2(\theta) \cdot \sin(\theta)$$
Quando \( x, y \rightarrow (0,0) \) in coordinate cartesiane \( r \rightarrow 0 \)
$$ \lim_{r \rightarrow 0} r \cdot \cos^2(\theta) \cdot \sin(\theta) $$
Spiegazione. La ragione per cui $ r \rightarrow 0 $ quando $ (x,y) \rightarrow (0,0) $ è intrinseca alla definizione delle coordinate polari. Mentre in coordinate cartesiane mi posso avvicinare all'origine lungo qualsiasi traiettoria, in coordinate polari mi avvicino all'origine semplicemente riducendo la distanza r a zero.
Sapendo che il prodotto cos2(θ)·sin(θ) è indipendente da r, posso farlo uscire dal limite.
$$ [ \cos^2(\theta) \cdot \sin(\theta) ] \cdot \lim_{r \rightarrow 0} r $$
Ora, poiché \( r \cos^2(\theta) \sin(\theta) \) è un prodotto di funzioni continue e il limite di \( r \) quando \( r \rightarrow 0 \) è 0, il limite della funzione è 0 per ogni valore dell'angolo \( \theta \).
$$ [ \cos^2(\theta) \cdot \sin(\theta) ] \cdot \lim_{r \rightarrow 0} r = 0 $$
Pertanto, anche il limite della funzione iniziale f(x,y) esiste ed è uguale a zero
$$ \lim_{x,y \rightarrow (0,0)} \frac{x^2 \cdot y}{x^2+y^2} = 0 $$
Soluzione alternativa
Il limite si può risolvere anche in modo diverso
$$ \lim_{x,y \rightarrow (0,0)} \frac{x^2 \cdot y}{x^2+y^2} $$
Guardando la funzione mi accorgo che si può usare anche la tecnica del valore assoluto
$$ - | f(x,y) | \le f(x,y) \le | f(x,y) | $$
$$ - | \frac{x^2 \cdot y}{x^2+y^2} | \le \frac{x^2 \cdot y}{x^2+y^2} \le | \frac{x^2 \cdot y}{x^2+y^2} | $$
$$ - |y| \cdot | \frac{x^2}{x^2+y^2} | \le \frac{x^2 \cdot y}{x^2+y^2} \le |y| \cdot | \frac{x^2}{x^2+y^2} | $$
Poiché x2/(x2+y2) è sempre positivo, posso togliere il modulo.
$$ - |y| \cdot \frac{x^2}{x^2+y^2} \le \frac{x^2 \cdot y}{x^2+y^2} \le |y| \cdot \frac{x^2}{x^2+y^2} $$
Calcolo il limite per (x,y) che tende a (0,0)
$$ \lim_{x,y \rightarrow (0,0)} - |y| \cdot \frac{x^2}{x^2+y^2} \le \lim_{x,y \rightarrow (0,0)} \frac{x^2 \cdot y}{x^2+y^2} \le \lim_{x,y \rightarrow (0,0)} |y| \cdot \frac{x^2}{x^2+y^2} $$
$$ - \lim_{x,y \rightarrow (0,0)} |y| \cdot \frac{x^2}{x^2+y^2} \le \lim_{x,y \rightarrow (0,0)} \frac{x^2 \cdot y}{x^2+y^2} \le \lim_{x,y \rightarrow (0,0)} |y| \cdot \frac{x^2}{x^2+y^2} $$
Il rapporto x2/(x2+y2)<1 è sempre minore di 1 perché il termine x2 compare sia al numeratore che al denominatore.
Pertanto entrambi i limiti agli estremi si riducono al prodotto di |y|, che tende a zero, per un fattore positivo minore di 1.
Quindi, entrambi i limiti tendono a zero.
$$ 0 \le \lim_{x,y \rightarrow (0,0)} \frac{x^2 \cdot y}{x^2+y^2} \le 0 $$
Di conseguenza, per il teorema dei carabinieri anche il limite tra di essi tende a zero.
$$ \lim_{x,y \rightarrow (0,0)} \frac{x^2 \cdot y}{x^2+y^2} = 0 $$
E così via.
