Limite funzione di due variabili 1
Devo calcolare il limite di una funzione di due variabili
$$ \lim_{x,y \rightarrow (0,0)} \frac{\sin(x^2+y^2)}{x^2+y^2} $$
Apparentemente sembra una forma indeterminata del tipo 0/0.
Per semplificare l'analisi introduco una variabile ausiliaria t=x2+y2
$$ t=x^2+y^2 $$
Quando le variabili (x,y) tendono a (0,0) la variabile ausiliaria t tende a 0.
Quindi, dopo aver introdotto la variabile ausiliaria, il limite iniziale diventa
$$ \lim_{t \rightarrow 0} \frac{\sin(t)}{t} $$
In questo modo ho ricondotto il problema al noto limite notevole di una funzione con una variabile sin(t)/t per t→0 e so già che questo limite tende a 1.
$$ \lim_{t \rightarrow 0} \frac{\sin(t)}{t} = 1 $$
Pertanto, anche il limite iniziale della funzione di due variabili tende a 1.
$$ \lim_{x,y \rightarrow (0,0)} \frac{\sin(x^2+y^2)}{x^2+y^2} = 1 $$
E così via.
