Esercizio studio del limite 8
Devo studiare il limite
$$ \lim_{x \rightarrow -1} \frac{\sqrt{x^2+3}-2}{3-\sqrt{8-x^3}} $$
Il dominio della funzione è
$$ D_f = (\infty , -1) \cup (-1,2) $$
Il punto x=-1 è un punto di accumulazione della funzione.
Quindi, posso procedere con il calcolo del limite.
Tuttavia, il limite per x->-1 è una forma indeterminata del tipo 0/0
$$ \lim_{x \rightarrow -1} \frac{\sqrt{x^2+3}-2}{3-\sqrt{8-x^3}} = \frac{0}{0} $$
Per uscire dalla forma indeterminata, razionalizzo il numeratore
$$ \lim_{x \rightarrow -1} \frac{\sqrt{x^2+3}-2}{3-\sqrt{8-x^3}} \cdot \frac{\sqrt{x^2+3}+2}{\sqrt{x^2+3}+2} $$
$$ \lim_{x \rightarrow -1} \frac{\sqrt{x^2+3}-2}{(3-\sqrt{8-x^3}) \cdot (\sqrt{x^2+3}+2)} \cdot \frac{\sqrt{x^12+3}+2}{} $$
$$ \lim_{x \rightarrow -1} \frac{\sqrt{x^2+3} \cdot \sqrt{x^2+3} +2 \sqrt{x^2+3} -2\sqrt{x^2+3} -2 \cdot 2}{(3-\sqrt{8-x^3}) \cdot (\sqrt{x^2+3}+2)} $$
$$ \lim_{x \rightarrow -1} \frac{(x^2+3)-4}{(3-\sqrt{8-x^3}) \cdot (\sqrt{x^2+3}+2)} $$
$$ \lim_{x \rightarrow -1} \frac{x^2-1}{(3-\sqrt{8-x^3}) \cdot (\sqrt{x^2+3}+2)} $$
$$ \lim_{x \rightarrow -1} \frac{(x^2+3)-4}{3-\sqrt{8-x^3} } \cdot \frac{1}{\sqrt{x^2+3}+2}$$
$$ \lim_{x \rightarrow -1} \frac{x^2+3-4}{3-\sqrt{8-x^3} } \cdot \lim_{x \rightarrow -1} \frac{1}{\sqrt{x^2+3}+2}$$
Il secondo limite converge a 1/4
$$ [ \lim_{x \rightarrow -1} \frac{x^2-1}{3-\sqrt{8-x^3} } ] \cdot \frac{1}{4} $$
$$ \frac{1}{4} \cdot \lim_{x \rightarrow -1} \frac{x^2-1}{3-\sqrt{8-x^3} } $$
Ora razionalizzo il denominatore
$$ \frac{1}{4} \cdot \lim_{x \rightarrow -1} \frac{x^2-1}{3-\sqrt{8-x^3} } \cdot \frac{3+\sqrt{8-x^3}}{3+\sqrt{8-x^3}} $$
$$ \frac{1}{4} \cdot \lim_{x \rightarrow -1} \frac{(x^2-1) \cdot (3+\sqrt{8-x^3}) }{(3-\sqrt{8-x^3}) \cdot (3+\sqrt{8-x^3}) } $$
$$ \frac{1}{4} \cdot \lim_{x \rightarrow -1} \frac{(x^2-1) \cdot (3+\sqrt{8-x^3}) }{3 \cdot 3 + 3 \cdot \sqrt{8-x^3} - 3 \cdot \sqrt{8-x^3} - \sqrt{8-x^3} \cdot \sqrt{8-x^3} } $$
$$ \frac{1}{4} \cdot \lim_{x \rightarrow -1} \frac{(x^2-1) \cdot (3+\sqrt{8-x^3}) }{9 - (8-x^3) } $$
$$ \frac{1}{4} \cdot \lim_{x \rightarrow -1} \frac{(x^2-1) \cdot (3+\sqrt{8-x^3}) }{9 - 8 +x^3 } $$
$$ \frac{1}{4} \cdot \lim_{x \rightarrow -1} \frac{(x^2-1) \cdot (3+\sqrt{8-x^3}) }{1 +x^3 } $$
Al numeratore c'è una differenza di quadrati (a2-b2)=(a-b)(a+b)
$$ \frac{1}{4} \cdot \lim_{x \rightarrow -1} \frac{(x-1) \cdot (x+1) \cdot (3+\sqrt{8-x^3}) }{1 +x^3 } $$
Al denominatore c'è una somma di cubi (a3+b3)=(a+b)(a2-ab+b2)
$$ \frac{1}{4} \cdot \lim_{x \rightarrow -1} \frac{(x-1) \cdot (x+1) \cdot (3+\sqrt{8-x^3}) }{(x+1) \cdot (1-x+x^2) } $$
Elimino (x+1) al numeratore e al denominatore
$$ \frac{1}{4} \cdot \lim_{x \rightarrow -1} \frac{ (x-1) \cdot (3+\sqrt{8-x^3}) }{1-x+x^2 } $$
Ora anche il secondo limite è calcolabile per x→-1
$$ \frac{1}{4} \cdot \frac{ (-2) \cdot (6) }{1-x+x^2 } $$
$$ \frac{1}{4} \cdot \lim_{x \rightarrow -1} \frac{ (x-1) \cdot (3+\sqrt{8-x^3}) }{1-x+x^2 } $$
$$ = \frac{1}{4} \cdot \frac{ (-2) \cdot (6) }{3 } $$
$$ = \frac{-12}{12} $$
$$ = -1 $$
Il limite della funzione è -1
E così via.
