Esercizi sullo studio del limite di una funzione

Devo studiare il limite per x che tende a zero di questa funzione

$$ \lim_{x \rightarrow 0} \frac{\sqrt{x+4}-2}{3x} $$

Per prima cosa trovo il dominio della funzione.

La funzione è definita nell'intervallo

$$ D_f = [-4,0) \ \cup \ (0, +\infty) $$

Poi verifico se il limite ha una soluzione immediata per x→0.

$$ \lim_{x \rightarrow 0} \frac{\sqrt{x+4}-2}{3x} = \frac{0}{0} $$

Il limite è una forma indeterminata del tipo 0/0. Quindi, non ha una soluzione immediata.

Per evitare la forma indeterminata trasformo il limite in una forma equivalente.

Moltiplico e divido la funzione per il numeratore cambiando il segno da meno a più.

$$ \lim_{x \rightarrow 0} \frac{\sqrt{x+4}-2}{3x} \cdot \frac{\sqrt{x+4}+2}{\sqrt{x+4}+2} $$

In questo modo il numeratore si semplifica

$$ \lim_{x \rightarrow 0} \frac{\sqrt{x+4}\sqrt{x+4}+2\sqrt{x+4}-2\sqrt{x+4}-4}{3x(\sqrt{x+4}+2)} $$

$$ \lim_{x \rightarrow 0} \frac{(x+4)-4}{3x(\sqrt{x+4}+2)} $$

$$ \lim_{x \rightarrow 0} \frac{x}{3x(\sqrt{x+4}+2)} $$

$$ \lim_{x \rightarrow 0} \frac{1}{3(\sqrt{x+4}+2)} $$

Ora posso calcolare il limite nella forma equivalente evitando la forma indeterminata.

$$ \lim_{x \rightarrow 0} \frac{1}{3(\sqrt{x+4}+2)} = \frac{1}{12} $$

Il limite della funzione per x che tende a zero è 1/12.

Nota. Per risolvere la forma indeterminata 0/0 posso usare anche il teorema di L'Hopital derivando separatamente sia il numeratore che il denominatore della funzione fratta. $$ \lim_{x \rightarrow 0} \frac{\sqrt{x+4}-2}{3x} = \frac{0}{0} $$ $$ \lim_{x \rightarrow 0} \frac{D[\sqrt{x+4}-2]}{D[3x]} $$ $$ \lim_{x \rightarrow 0} \frac{ \frac{1}{2 \cdot \sqrt{x+4}}}{3} = \frac{ \frac{1}{2 \cdot \sqrt{4}}}{3} = \frac{ \frac{1}{4}}{3} = \frac{1}{4} \cdot \frac{1}{3} = \frac{1}{12} $$ Il risultato finale è lo stesso.

E così via.