Il calcolo combinatorio

Cos'è il calcolo combinatorio

Il calcolo combinatorio è una disciplina matematica che studia i raggruppamenti ottenibili con un insieme di oggetti.

Esistono diversi metodi di raggruppamento, quelli più conosciuti sono le permutazioni, le disposizioni e le combinazioni.

La legge della somma e del prodotto

Il calcolo combinatorio si basa sulla legge della somma e del prodotto.

La legge della somma

Dati 2 insiemi disgiunti tra loro A e B, la cardinalità dell'insieme unione A∪B è uguale alla somma delle cardinalità dei singoli insiemi $$ |A∪B|=|A|+|B| $$

La legge si può estendere a 3,4 o n insiemi.

Esempio

Ho un insieme con tre consonanti

$$ A = \{ k, m, z \} $$

e un insieme con due vocali

$$ B = \{ a, e \} $$

Sono insiemi disgiunti.

L'intersezione degli insiemi A ⋂ B è un insieme vuoto Ø.

$$ A ⋂ B = Ø $$

La cardinalità degli insiemi è

$$ |A|=3 \\ |B|=2 $$

L'insieme unione A ∪ B è

$$ A ∪ B = \{ k, m, z, a, e \} $$

La cardinalità dell'insieme unione A ∪ B è uguale a 5

$$ |A ∪ B| = 5 $$

ed è uguale alla somma della cardinalità dei singoli insiemi

$$ |A ∪ B| = |A|+|B|=3+2=5 $$

La legge del prodotto

Dati due insiemi A,B il prodotto tra le cardinalità |A|*|B| è uguale alla cardinalità del prodotto cartesiano |AxB|. $$ |A|\cdot|B| = |AxB| $$

La legge si può estendere a 3,4 o n insiemi.

Esempio

Posso scegliere un'automobile tra due tipi di modelli

$$ A = \{ utilitaria, sportiva \} $$

e tre colori

$$ B=\{ rossa, verde, gialla \} $$

La cardinalità degli insiemi è

$$ |A|=2 \\ |B|=3 $$

Il prodotto cartesiano AxB è composto dalle coppie:

$$ A = \{ \\ (utilitaria,rossa), (utilitaria, verde), (utilitaria, gialla), \\ (sportiva, rossa), (sportiva, verde), (sportiva, gialla) \\ \} $$

La cardinalità del prodotto cartesiano è

$$ |AxB|=6 $$

ed è uguale al prodotto delle cardinalità degli insiemi

$$ |AxB|=|A| \cdot |B| = 3 \cdot 2 = 6 $$

E così via.