Teorema sull'indipendenza lineare dei vettori
Se un insieme di vettori {v1,v2,...,vn} sono vettori linearmente indipendenti, allora tutti i vettori sono diversi dal vettore nullo →v1≠→0→v2≠→0⋮→vn≠→0
La dimostrazione
Dati n vettori {v1,v2,...,vn} vettori linearmente indipendenti.
Per assurdo suppongo che uno dei vettori vk sia un vettore nullo
→vk=→0
Ora considero la combinazione lineare dei vettori
λ1→v1+λ1→v2+...+λk→vk+...+λn→vn
Pongo a zero tutti i coefficienti scalari λ1, λ2, ..., λn=0 ad eccezione del coefficiente scalare λk≠0 diverso da zero.
λ1=λ2=...=λn=0
λk≠0
Essendo vk un vettore nullo, la combinazione lineare dei vettori è uguale al vettore nullo
0⋅→v1+0⋅→v2+...+λk→vk+...+0⋅→vn=0
Tuttavia, questo contraddice l'ipotesi iniziale perché vorrebbe dire che i vettori sono linearmente dipendenti.
Secondo l'ipotesi iniziale, invece, i vettori sono linearmente indipendenti.
Nota. La combinazione lineare dei vettori linearmente indipendenti è uguale a zero solo quando tutti i coefficienti scalari sono nulli (soluzione banale). In questo caso lk è diverso da zero ma la combinazione lineare è comunque nulla. Quindi i vettori non sono linearmente indipendenti.
Ho così dimostrato che nessun vettore linearmente indipendente può essere nullo.
E così via.