Teorema sull'indipendenza lineare dei vettori

Se un insieme di vettori {v₁,v₂,...,v_n} sono vettori linearmente indipendenti, allora tutti i vettori sono diversi dal vettore nullo $$ \vec{v}_1 \ne \vec{0} \\ \vec{v}_2 \ne \vec{0} \\ \vdots \\ \vec{v}_n \ne \vec{0} $$

La dimostrazione

Dati n vettori {v₁,v₂,...,v_n} vettori linearmente indipendenti.

Per assurdo suppongo che uno dei vettori v_k sia un vettore nullo

$$ \vec{v}_k = \vec{0} $$

Ora considero la combinazione lineare dei vettori

$$ \lambda_1 \vec{v}_1 + \lambda_1 \vec{v}_2 + ... + \lambda_k \vec{v}_k + ... + \lambda_n \vec{v}_n $$

Pongo a zero tutti i coefficienti scalari λ₁, λ₂, ..., λ_n=0 ad eccezione del coefficiente scalare λ_k≠0 diverso da zero.

$$ \lambda_1 = \lambda_2 = ... = \lambda_n = 0 $$

$$ \lambda_k \ne 0 $$

Essendo v_k un vettore nullo, la combinazione lineare dei vettori è uguale al vettore nullo

$$ 0 \cdot \vec{v}_1 + 0 \cdot \vec{v}_2 + ... + \lambda_k \vec{v}_k + ... + 0 \cdot \vec{v}_n = 0 $$

Tuttavia, questo contraddice l'ipotesi iniziale perché vorrebbe dire che i vettori sono linearmente dipendenti.

Secondo l'ipotesi iniziale, invece, i vettori sono linearmente indipendenti.

Nota. La combinazione lineare dei vettori linearmente indipendenti è uguale a zero solo quando tutti i coefficienti scalari sono nulli (soluzione banale). In questo caso lk è diverso da zero ma la combinazione lineare è comunque nulla. Quindi i vettori non sono linearmente indipendenti.

Ho così dimostrato che nessun vettore linearmente indipendente può essere nullo.

E così via.