Loading [MathJax]/jax/output/CommonHTML/jax.js

Teorema sull'indipendenza lineare dei vettori

Se un insieme di vettori {v1,v2,...,vn} sono vettori linearmente indipendenti, allora tutti i vettori sono diversi dal vettore nullo v10v20vn0

    La dimostrazione

    Dati n vettori {v1,v2,...,vn} vettori linearmente indipendenti.

    Per assurdo suppongo che uno dei vettori vk sia un vettore nullo

    vk=0

    Ora considero la combinazione lineare dei vettori

    λ1v1+λ1v2+...+λkvk+...+λnvn

    Pongo a zero tutti i coefficienti scalari λ1, λ2, ..., λn=0 ad eccezione del coefficiente scalare λk≠0 diverso da zero.

    λ1=λ2=...=λn=0

    λk0

    Essendo vk un vettore nullo, la combinazione lineare dei vettori è uguale al vettore nullo

    0v1+0v2+...+λkvk+...+0vn=0

    Tuttavia, questo contraddice l'ipotesi iniziale perché vorrebbe dire che i vettori sono linearmente dipendenti.

    Secondo l'ipotesi iniziale, invece, i vettori sono linearmente indipendenti.

    Nota. La combinazione lineare dei vettori linearmente indipendenti è uguale a zero solo quando tutti i coefficienti scalari sono nulli (soluzione banale). In questo caso lk è diverso da zero ma la combinazione lineare è comunque nulla. Quindi i vettori non sono linearmente indipendenti.

    Ho così dimostrato che nessun vettore linearmente indipendente può essere nullo.

    E così via.

     


     

    Segnalami un errore, un refuso o un suggerimento per migliorare gli appunti

    FacebookTwitterLinkedinLinkedin
    knowledge base

    Dipendenza e indipendenza lineare