Cosa sono le leggi duali

Secondo il principio di dualità, in algebra booleana due leggi booleane sono dette leggi duali se sostituendo il + con il * (o viceversa) hanno la stessa tavola di verità.

Esempio

Prendo in considerazione una legge:

$$ xyz+\overline{x}yz = yz $$

Sostituisco le operazioni + con · e viceversa.

$$ (x+y+z)(\overline{x}+y+z)=y+z $$

Se le due leggi hanno la stessa tavola di verità

$$ \begin{array}{crc|c} x & y & z & xyz+\overline{x}yz & yz \\ \hline 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 & 0 \\0 & 1 & 1 & 1 & 1 \\ 1 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 1 & 0 & 1 & 0 & 0 \\ 1 & 1 & 0 & 0 & 0 \\1 & 1 & 1 & 1 & 1 \end{array} $$

sono due leggi duali.

Come dualizzare un'espressione booleana

Per dualizzare un'espressione booleana devo soltanto sostituire gli operatori dell'addizione (+) con quella moltiplicazione (·) e viceversa.

Esempio

Ho la seguente espressione booleana

$$ x + \overline{x}y = x+y $$

La forma duale dell'espressione è

$$ x ( \overline{x} + y ) = xy $$

Nota. Ovviamente non è detto che l'espressione abbia la stessa tavola di verità. Se la tavola di verità è la stessa si parla di legge duale.