Analisi nodale modificata

L'analisi nodale modificata si realizza scrivendo un sistema di equazioni in cui le incognite sono le tensioni di nodi e le correnti dei generatori di tensione.

E' un'analisi alternativa all'analisi nodale e non identifica i supernodi.

Come funziona

1. Scelgo un nodo di riferimento (v)
2. Assegno le incognite tensioni (v) agli n-1 nodi restanti
3. Aggiungo le incognite (i) sulle correnti dei generatori di tensione agli n-1 nodi restanti
4. Scrivo un sistema con n-1 equazioni in base alla legge di Kirchhoff sulle correnti (KCL), una per ogni nodo fatta eccezione per il nodo di riferimento
5. Aggiungo al sistema un'equazione per ogni generatore di tensione
6. Se il generatore di tensione è collegato al nodo di riferimento, assegno all'altro nodo la tensione del generatore (v).
7. Se il generatore di tensione non è collegato al nodo di riferimento, l'equazione, la differenza delle tensioni v_out-v_in è uguale alla tensione del generatore (v)

Un esempio pratico

In questo circuito ci sono due generatori di corrente e uno di tensione.

Nei rami dove non ci sono generatori di corrente (5A e 7V) aggiungo l'incognita i₁,i₂,i₃.

Nel ramo dove si trova il generatore di tensione (2V) aggiungo l'incognita i_G.

Comincio a scrivere il sistema con le equazioni dei nodi non di riferimento v₁ e v₂ secondo la legge KCL.

$$ \begin{cases} 5+i_G = i_1+i_2 \\ i_2=7+i_G+i_3 \end{cases} $$

Le trasformo in equazioni omogenee

$$ \begin{cases} i_1+i_2-5-i_G =0 \\ 7+i_G+i_3-i_2=0 \end{cases} $$

Poi aggiungo l'equazione del generatore di tensione (2V).

Si trova tra due punti non di riferimento, pertanto scrivo l'equazione nella forma di differenza della tensione.

$$ \begin{cases} i_1+i_2-5-i_G =0 \\ 7+i_G+i_3-i_2=0 \\ v_2-v_1=2V \end{cases} $$

Tramite la legge di Ohm definisco le incognite della corrente i₁,i₂,i₃.

$$ i_1=\frac{v_1}{2} \\ i_2=\frac{v_1-v_2}{10} \\ i_3 = \frac{v_2}{4} $$

Poi sostituisco le formule nel sistema di equazioni:

$$ \begin{cases} \frac{v_1}{2} + \frac{v_1-v_2}{10} - 5-i_G =0 \\ 7+i_G+ \frac{v_2}{4} - \frac{v_1-v_2}{10} =0 \\ v_2-v_1=2V \end{cases} $$

Nella prima equazione metto in evidenza l'incognita i_G.

$$ \begin{cases} i_G = \frac{v_1}{2} + \frac{v_1-v_2}{10} - 5 \\ 7+i_G+ \frac{v_2}{4} - \frac{v_1-v_2}{10} =0 \\ v_2-v_1=2V \end{cases} $$

Nella terza equazione metto in evidenza l'incognita v₂.

$$ \begin{cases} i_G = \frac{v_1}{2} + \frac{v_1-v_2}{10} - 5 \\ 7+i_G+ \frac{v_2}{4} - \frac{v_1-v_2}{10} =0 \\ v_2=v_1+2V \end{cases} $$

Usando il metodo della sostituzione sostituisco i_G nella seconda equazione.

$$ 7+i_G+ \frac{v_2}{4} - \frac{v_1-v_2}{10} =0 $$

$$ 7+\frac{v_1}{2} + \frac{v_1-v_2}{10} - 5+ \frac{v_2}{4} - \frac{v_1-v_2}{10} =0 $$

$$ 7+\frac{v_1}{2} - 5+ \frac{v_2}{4} =0 $$

Poi sostituisco la v₂ con v₁+2 sempre nella seconda equazione

$$ 7+\frac{v_1}{2} - 5+ \frac{v_2}{4} =0 $$

$$ 7+\frac{v_1}{2} - 5+ \frac{(v_1+2)}{4} =0 $$

$$ \frac{v_1}{2} + \frac{(v_1+2)}{4} =5-7 $$

$$ \frac{2v_1+(v_1+2)}{4} =5-7 $$

$$ \frac{3v_1+2}{4} =-2 $$

$$ 3v_1+2 =-2 \cdot 4 $$

$$ 3v_1+2 =-8 $$

$$ 3v_1 =-10 $$

$$ v_1 = - \frac{10}{3} = 3.3 V$$

Una volta trovato v₁=-3.3 lo sostituisco nella terza equazione e trovo v₂.

$$ v_2=v_1+2V $$

$$ v_2=-3.3+2V $$

$$ v_2=-1.3 V $$

Ho così trovato le tensioni v₁=-3.3V e v₂=-1.3V.

E così via.