Analisi agli anelli per ispezione

L'analisi agli anelli per ispezione è un metodo di calcolo alternativo. Posso usarlo se sono presenti soltanto generatori indipendenti di tensione nel circuito.

Costruisco la matrice delle resistenze.

$$ \begin{pmatrix} R_{1,1} & ... & R_{1,n} & i_1 & v_1 \\ \vdots & \ddots & \vdots & \vdots & \vdots \\ R_{n,1} & ... & R_{n,n} & i_n & v_n \end{pmatrix} $$

1. Nella diagonale principale della matrice indico la somma delle resistenze in ogni anello.
2. Negli elementi a_i,j della matrice indico la somma delle resistenze comuni tra l'anello i e l'anello j cambiato di segno. Purché i≠j.
3. Nella colonna delle correnti inserisco le correnti incognite per ogni anello i-esimo.
4. Nell'ultima colonna inserisco la somma delle tensioni dei generatori indipendenti per ogni nodo i-esimo in senso orario.

La matrice delle resistenze è un sistema di equazioni e può essere risolto per trovare le correnti incognite del circuito.

Un esempio pratico

Ho un circuito elettrico con due generatori di tensione e due anelli.

Comincio a scrivere la matrice delle resistenze per n=2 anelli.

$$ \begin{pmatrix} -- & -- & i_1 & -- \\ -- & -- & i_2 & -- \end{pmatrix} $$

Nell'elemento a_1,1 digito la somma delle resistenze R₁+G₃ dell'anello i₁.

$$ \begin{pmatrix} R_1+R_3 & -- & i_1 & -- \\ -- & -- & i_2 & -- \end{pmatrix} $$

Nell'elemento a_2,2 digito la somma delle resistenze R₂+R₃ dell'anelli i₂.

$$ \begin{pmatrix} R_1+R_3 & -- & i_1 & -- \\ -- & R_2 + R_3 & i_2 & -- \end{pmatrix} $$

La diagonale principale dei nodi è completa. Ora posso inserire i dati dei singoli rami.

Nell'elemento a_1,2 inserisco la somma delle resistenze comuni tra l'anello i₁ e l'anello i₂ cambiato di segno.

$$ \begin{pmatrix} R_1+R_3 & -R_3 & i_1 & -- \\ -- & R_2 + R_3 & i_2 & -- \end{pmatrix} $$

Nell'elemento a_2,1 scrivo la somma delle resistenze tra l'anello i₂ e l'anello i₁ cambiato di segno.

$$ \begin{pmatrix} R_1+R_3 & -R_3 & i_1 & -- \\ -R_3 & R_2 + R_3 & i_2 & -- \end{pmatrix} $$

Nell'ultima colonna inserisco le tensioni del primo anello (v₁) in senso orario.

$$ \begin{pmatrix} R_1+R_3 & -R_3 & i_1 & v_1 \\ -R_3 & R_2 + R_3 & i_2 & -- \end{pmatrix} $$

Nella seconda riga dell'ultima colonna digito le tensioni (v₂) del secondo anello in senso orario.

$$ \begin{pmatrix} R_1+R_3 & -R_3 & i_1 & v_1 \\ -R_3 & R_2 + R_3 & i_2 & -v_2 \end{pmatrix} $$

Ora posso facilmente trovare le correnti (i) risolvendo il sistema di equazioni.

$$ \begin{pmatrix} R_1+R_3 & -R_3 \\ -R_3 & R_2 + R_3 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} i_1 \\ i_2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} v_1 \\ -v_2 \end{pmatrix} $$

E così via.