Reticoli limitati
Un reticolo è limitato se e solo se ammette un massimo e un minimo.
Il minimo del reticolo è indicato con il simbolo 0.
Il massimo del reticolo, invece, è indicato con il simbolo 1.
Nota. In un reticolo non è detto che ci siano il minimo e il massimo. Se manca il minimo o il massimo, oppure entrambi, non si può parlare di reticolo limitato.
Un esempio di reticolo limitato
L'insieme delle parti (P(S), ⊆) è limitato perché ammette un minimo ( insieme vuoto ) e un massimo ( insieme S ).
$$ \min (P(S), ⊆ ) = Ø $$
$$ \max (P(S), ⊆ ) = S $$
I reticoli finiti sono limitati
Ogni reticolo finito è limitato.
Dimostrazione
L'insieme S contiene n elementi
$$ S = \{ x_1, x_2 , ... , x_n \} $$
Posso ottenere il massimo del reticolo tramite l'unione di tutti gli elementi.
$$ \max S = x_1 ∨ x_2 ... ∨ x_n $$
Il minimo del reticolo, invece, lo calcolo con l'intersezione di tutti gli elementi.
$$ \min S = x_1 ∧ x_2 ... ∧ x_n $$
Pertanto, al di là del numero di elementi, se il reticolo è finito è anche limitato.
Corollari
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Se il reticolo ammette due o più minimali allora non è limitato perché non esiste un minimo.
Ovviamente, non è detto che un solo minimale sia necessariamente il minimo. -
Se il reticolo ammette due o più massimali allora non è limitato perché non esiste un massimo.
Non vale il contrario. Non è detto che un solo massimale sia necessariamente il massimo del reticolo.
