Reti di code markoviane aperte
Uno dei modelli di rete di code aperte è la rete di code di Jackson.
Il modello di Jackson
La rete di code di Jackson è composta da n nodi.
Ogni nodo è una coda con m servitori, uno spazio di accodamento (buffer) illimitato, una popolazione di clienti illimitata, tempi di servizio a distribuzione esponenziale, processo degli arrivi dall'esterno di Poisson.
Esempio
Una semplice rete di Jackson è una rete a tandem con due code in serie, del tipo M/M/1, ognuna con un singolo servente.
Le probabilità di instradamento (routing)
Il processo di instradamento dei clienti nella rete è un processo stocastico determinato dalle probabilità di instradamento (o di routing).
Quando un cliente esce da un nodo i (riceve un servizio) può restare nella rete ed entrare in un altro nodo j (rij) oppure uscire dalla rete (ri0).
La somma delle probabilità di instradamento è uguale a 1 per ogni nodo i=1,...,v
$$ \sum_{j=1}^v = r_{ij} + r_{i0} = 1 $$
Gli arrivi in un nodo i sono determinati dalle equazioni di traffico della rete per ogni nodo i=1,...v.
$$ λ_i = λ_i^{in} + \sum_{j=1}^{v} r_{ji} \cdot λ_j $$
Dove λj è il tasso medio di uscita dal nodo j mentre λin è il tasso di arrivo dall'esterno al nodo i.
Le equazioni di traffico sono v, una per ogni nodo, e possono essere rappresentate anche in forma vettoriale.
$$ λ = λ^{in} + λ \cdot R $$
Con un semplice passaggio algebrico ottengo il vettore degli arrivi
$$ λ - λ \cdot R = λ^{in} $$
$$ λ \cdot ( 1 - R ) = λ^{in} $$
$$ λ = \frac{ λ^{in} }{ ( 1 - R ) } $$
La matrice (1-R) è invertibile se la rete è ergodica.
E' una condizione necessaria per stabilire la stabilità della rete.
