Coda M/M/m
La coda M/M/m è una coda con processo di arrivo e di servizio basato sulla distribuzione di Poisson (M) e dotata di m servitori che lavorano contemporaneamente in parallelo.
In questo caso il tasso di morte è
$$ μ_j = \min ( j ,m) \cdot μ $$
Dove j sono i clienti nel sistema e m i servitori.
La probabilità di stato a regime è
$$ π_j = \frac{λ^j}{j!μ^j} π_0 \:\:\: se \:\: j<m$$
$$ π_j = \frac{m^{m-j} \cdot λ^j }{m!μ^j} π_0 \:\:\: se \:\: j \ge m$$
La probabilità di stato iniziale è
$$ π_0 = ( \sum_{i}^{m-1} \frac{m^iδ^i}{i!} + \frac{m^mδ^m}{m!(1-δ)} )^{-1} $$
Il coefficiente di carico è
$$ δ = \frac{λ}{μ \cdot m} $$
Il numero medio dei clienti a regime (lunghezza della coda) in una coda M/M/m con m>1 è
$$ x = mδ + \frac{m^m \cdot δ^{m+1} } { m!(1-δ)^2 } π_0 $$
da cui si ricava il tempo medio di permanenza nel sistema
$$ o = \frac{x}{λ} $$
e il tempo medio di attesa in coda
$$ o_c = \frac{x}{λ} - \frac{1}{μ} $$
Un esempio pratico
In una coda M/M arrivano 10 clienti ogni ora.
$$ λ = 10 $$
I processi degli arrivi e delle partenze sono distribuiti in modo esponenziale.
Il gestore può scegliere tra due possibilità: un servente veloce (esperto) o due serventi lenti (non esperti).
Caso 1 (un servente veloce)
Un servente sbriga ogni pratica in 5 minuti.
$$ μ = \frac{60}{5} = 12 $$
Si tratta di una coda M/M/1 classica. Pertanto, faccio riferimento alle formule della M/M/1.
Il coefficiente di carico è minore di 1, pertanto la coda è stabile.
$$ δ = \frac{λ}{μ} = \frac{10}{12} = \frac{10}{12} = 0.83 < 1 $$
Il tempo medio di attesa nel sistema è di mezz'ora (0.5 ore)
$$ o = \frac{1}{μ-λ} = \frac{1}{12-10} = \frac{1}{2} = 0.5 $$
Caso 2 (due serventi lenti)
Un servente lento svolge una pratica in 10 minuti.
$$ μ = \frac{60}{10} = 6 $$
In questo caso ci sono due serventi disponibili. Si tratta di una coda M/M/2.
Pertanto, utilizzo le formule specifiche delle code M/M/m
Il coefficiente di carico è minore di 1. Quindi, la coda è stabile.
$$ δ = \frac{λ}{μ \cdot m} = \frac{10}{6 \cdot 2} = 0.83 < 1 $$
La probabilità di stato iniziale è
$$ π_0 = ( \sum_{i}^{m-1} \frac{m^iδ^i}{i!} + \frac{m^mδ^m}{m!(1-δ)} )^{-1} = 0.10 $$
La lunghezza media della coda è
$$ x = mδ + \frac{m^m \cdot δ^{m+1} } { m!(1-δ)^2 } π_0 = 5.6 $$
Il tempo di attesa nel sistema è poco più di mezz'ora (0.56)
$$ o = \frac{x}{λ} = \frac{5.6}{10} = 0.56 $$
In conclusione, la coda con due serventi più lenti peggiora il tempo di attesa rispetto alla coda con un singolo servente veloce.
E così via.
