Coda M/M/∞

La coda M/M/∞ è una coda con infiniti serventi.

Quando un cliente accede al sistema, il cliente trova sempre un servente libero.

E' il caso dei sistemi self-service o delle trasmissioni radio-televisive.

Le caratteristiche

Il processo nascita e morte del sistema a coda è il seguente.

Il tasso di nascita è

$$ λ_j = l $$

Il tasso di morte è

$$ μ=j \cdot μ $$

Dove j è il numero di clienti nel sistema ossia lo stato.

Le probabilità di stato a regime con una distribuzione di Poisson sono

$$ p_j = \frac{(λ/μ)^j}{j!} \cdot e^{-λ/μ} = \frac{δ^j}{j!} \cdot e^{-δ} $$

In questo caso, la distribuzione di probabilità a regime dipende soltanto dal tempo medio di servizio.

Nota. Per questa ragione le formule della probabilità di stato possono essere usate anche in altre distribuzioni di servizio. Non solo esponenziali. Ad esempio M/G/∞.

Il tempo medio di attesa in coda è sempre nullo.

Pertanto, è nullo anche il numero dei clienti in coda.

Il tempo di permanenza medio nel sistema è invece uguale al tempo medio di servizio.

$$ o = \frac{1}{μ} $$

Il numero medio dei clienti nel sistema è

$$ x = \frac{λ}{μ} $$

Nota. In questo caso il rapporto δ=λ/μ non indica l'intensità del traffico ma lo stato del sistema.

Un esempio pratico

L'audience televisiva serale in un'ora è in media di 10.000.000 di utenti che si ripartisce tra 10 canali in modo casuale.

Pertanto il tasso di arrivo medio di un canale è

$$ λ = 10.000.000 / 10 = 1.000.000 $$

Ogni utente passa circa 90 minuti a guardare la tv.

Quindi, il tasso medio di servizio di un canale è

$$ μ=\frac{90}{60} = 1.5 \:\: ore $$

Il numero medio di utenti di un canale in un'ora è

$$ x = \frac{1.000.000}{1.5} = 1.500.000 $$

E così via.