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Un esempio di costruzione del diagramma di Bode

Per costruire un diagramma di Bode si parte da una funzione di trasferimento in forma fattorizzata con zeri al numeratore e poli al denominatore.

G(s)=(s1)(s+10)s(s2+s+16)

Nota. Questa funzione non può essere ulteriormente fattorizzata. Il polinomio al denominatore ha il determinante negativo, quindi non ha radici e non può essere ulteriormente fattorizzato.

Il diagramma del modulo

Metto in evidenza i coefficienti -1 e +10 al numeratore per scorporarli.

G(s)=(1)(1s)(10)(s10+1)s(s2+s+16)

G(s)=(1)(10)(1s)(s10+1)s(s2+s+16)

Ora metto in evidenza 16 al denominatore per scorporarlo.

G(s)=(1)(10)(1s)(s10+1)s16(s216+s16+1)

G(s)=(1)(10)16(1s)(s10+1)s(s216+s16+1)

G(s)=1016(1s)(s10+1)s(s216+s16+1)

G(s)=58(1s)(s10+1)s(s216+s16+1)

In questo modo ottengo il guadagno di Bode K=-5/8 che in decibel diventa.

|K|dB=20log|58|=4.08

Quindi il grafico della funzione passa circa a - 4 dB

il punto di passaggio del grafico

Ora scorporo il polo nell'origine ossia il fattore s al denominatore con molteplicità v=1.

G(s)=581s(1s)(s10+1)s216+s16+1

A questo punto sostituisco la s con jω e ottengo funzione nella forma di Bode.

G(jω)=581jω(1jω)(jω10+1)(jω)216+jω16+1

Con un semplice confronto con la funzione di Bode standard riconosco le varie componenti della funzione.

La funzione di Bode standard G(s)=K (1+τ1s)(1+τ2s)(1+2sδ1ωn,1+s2ω2n,1)(1+2sδ2ωn,2+s2ω2n,2)sv(1+τ1s)(1+τ2s)(1+2sδ1ωn,1+s2ω2n,1)(1+2sδ2ωn,2+s2ω2n,2) ossia G(jω)=K (1+τ1jω)(1+τ2jω)(1+2jωδ1ωn,1+(jω)2ω2n,1)(1+2jωδ2ωn,2+(jω)2ω2n,2)(jω)v(1+τ1jω)(1+τ2jω)(1+2jωδ1ωn,1+(jω)2ω2n,1)(1+2jωδ2ωn,2+(jω)2ω2n,2)

Al numeratore ci sono costanti di tempo.

τ1=1τ2=110=0.1

Nota. Quindi ci sono due punti di rottura in corrispondenza di 1|τ1|=1|1|=1 1|τ2|=1|0.1|=10
due punti di rottura

Al denominatore c'è, invece, una coppia di poli complessi e coniugati.

ω2n,1=16

Nota. Quindi la pulsazione naturale è ωn=16=4 E' un altro punto di rottura del grafico
il punto di rottura in 4dB

2δ1ωn,1=116

Nota. Quindi il coefficiente di smorzamento è 2δ14=116 δ12=116 δ1=216 δ1=18=0.125 Essendo minore di 1/√2 c'è sicuramente un picco di risonanza.

Ora posso tracciare il grafico.

Il termine monomio è una retta con pendenza -20dB per decade ( -1 ) fino al primo punto di rottura.

il termine monomio

Spiegazione 20log1jω=20log120logjω=20logjω

La retta passa per il punto -4dB sull'asse delle ordinate.

Quindi individuo un altro punto della retta alle coordinate -4+20=16dB in una decade prima (0.1) e traccio la retta.

il monomio

Nel primo punto di rottura a 1ω devo considerare il binomio (1-jω).

il primo binomio degli zeri

Si tratta di uno zero con pendenza 20dB per decade (+1).

Il segnale va sovrapposto al precedente (-1).

Quindi -1+1=0. Il segnale complessivo è costante (0) fino al secondo punto di rottura.

il grafico dopo il primo punto di rottura

Nel secondo punto di rottura a 4ω devo considerare il trinomio.

Si tratta una nuova retta pendenza di -40dB per decade (-2) che si sovrappone alla precedente.

il secondo punto di rottura

Nel terzo punto di rottura devo considerare un altro zero a 10ω.

E' una nuova retta pendenza di +20dB per decade (+1) che si sovrappone alla precedente (-2).

Quindi, a partire da 10w a curva modifica la pendenza a -1.

il terzo punto di rottura

La rappresentazione del diagramma di Bode in forma asintotica termina qui.

Ovviamente, il grafico non è preciso e deve essere ancora corretto con lo studio del picco di risonanza e della frequenza di risonanza.

La formula della pulsazione di risonanza è

ωr=ωn12δ2

Sapendo che δ=0,125 e ωn=4

ωr=412(0,1252)

ωr=410,03

ωr=40,97

ωr=40,984

ωr3,94

La formula del picco di risonanza è

|MR|dB=20log(12δ1δ2)

Sapendo che δ=0,125

|MR|dB=20log(12·0,12510,1252)

|MR|dB=20log(10,2510,02)

|MR|dB=20log(10,250,98)

|MR|dB=20log(10,250,99)

|MR|dB=20log4

|MR|dB=20(0,602)12dB

Individuo sull'ascisse la pulsazione di risonanza ωr=3,84 ω

In questa posizione il grafico si trova a -4dB sulle ordinate, salgo di +12dB e individuo il picco di risonanza.

la correzione del modulo

Inoltre, nell'origine c'è un errore di +3dB.

L'andamento corretto del grafico è il seguente:

l'andamento del grafico corretto

Nota. I punti di rottura sono tutti vicini entro una decada. Pertanto, le correzioni a un punto di rottura influenzano anche gli altri. In questo esercizio evito di considerare questi aspetti per semplicità. In realtà, tanto più i punti di rottura sono vicini tanto più si influenzano. Pertanto, andrebbero considerati. Se invece sono distanti più di una decade l'influenza è quasi nulla.

Una volta ultimato il diagramma del modulo, passo al diagramma della fase.

Il diagramma della fase

Riprendo la forma di Bode della funzione

G(jω)=581jω(1jω)(jω10+1)(jω)216+jω16+1

La costante K vale -5/8 ed è negativa. Quindi, c'è uno sfasamento di -180° nel tratto iniziale.

C'è anche un polo passante per l'origine con molteplicità h=-1. Quindi devo sottrarre altri -90°.

la costante K e il monomio

Complessivamente, la fase è uguale a -270° da 0 fino al primo punto di rottura.

Per semplicità comincio a disegnare il diagramma in forma asintotica.

il primo tratto del grafico

Il primo punto di rottura è uno zero (ω=1) del binomio (1-jω) con molteplicità h=1.

uno zero

Il binomio causa una riduzione di ulteriori -90° della fase che scende a -360°.

La fase si mantiene a questo livello fino al successivo punto di rottura.

la fase scende a -360°

Il punto di rottura ω=4 (pulsazione naturale ωn) è dovuto alla coppia di poli complessi e coniugati nel trinomio al denominatore (h=-1).

il nuovo punto di rottura

Essendo δ=0.125, ossia δ>0, nel punto di rottura ω=4 si verifica una riduzione di -180° della fase.

la costruzione della fase

L'ultimo punto di rottura (ω=10) è relativo al secondo binomio al numeratore (h=1).

il punto di rottura nel binomio

A partire da questo punto la fase sale di 90°.

la fase sale di 90°

Non essendoci altri punti di rottura la fase resta costante a -450°.

Questo è il diagramma asintotico della fase.

il diagramma asintotico della fase

Per correggerlo, fisso i punti di passaggio della fase ( blu ).

Una decade prima di ogni punto di passaggio la fase comincia a modificare il proprio andamento.

Nota. Poiché i punti di passaggio sono molto vicini tra loro, entro una decade, si influenzano l'uno con l'altro. Per semplicità non considero questo aspetto.

Congiungo i vari punti intermedi e ottengo una rappresentazione più precisa della fase.

Ecco il diagramma della fase corretto.

il diagramma della fase corretto

E così via.

 


 

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La rappresentazione di Bode