La prova del nove
La prova del nove è una procedura rapida per verificare l'esattezza di un'operazione matematica ( moltiplicazione, divisione, addizione, sottrazione ) tra numeri interi.
Si tratta di un test di controllo.
- Se la prova del nove fallisce, il risultato è sbagliato.
- Se la prova del nove è soddisfatta, il risultato potrebbe essere corretto.
Nota. Dico "potrebbe" perché la prova del nove è una condizione necessaria ma non sufficiente a garantire l'esattezza del risultato. Pertanto, c'è comunque un rischio di falso positivo.
Come funziona la prova del nove
Nel caso della moltiplicazione la prova del nove funziona in questo modo
- Devo verificare se il risultato di un'operazione è corretto.
Esempio. Devo controllare il risultato di questa operazione $$ 1432 \cdot 7432 = 10642624 $$
- Sommo le cifre di ogni fattore e del prodotto, in modo ricorsivo, fino a ridurli a una sola cifra.
Esempio. Sommo le cifre dei numeri fino a una sola cifra $$ 1+4+3+2 = 10 = 1+0 = 1 \\ 7+4+3+2 = 16 = 1+6 = 7 \\ 1+0+6+4+2+6+2+4 = 25 = 2+5 = 7 $$
- Sostituisco i valori ridotti nell'operazione
Esempio. Sostituisco 1 a 1432, 7 a 7432 e 7 a 10642624 $$ 1 \cdot 7 = 7 $$.
- Se il il risultato ridotto è corretto, la prova del nove è soddisfatta e il risultato iniziale "potrebbe" essere corretto.
Esempio. In questo caso il risultato è corretto. $$ 1 \cdot 7 = 7 $$ Quindi l'operazione $$ 1432 \cdot 7432 = 10642624 $$ potrebbe essere corretta.
- Se il prodotto ridotto è sbagliato, allora il risultato dell'operazione iniziale è sicuramente errato.
La prova del 9 e le congruenze
Il procedimento della prova del nove si basa sull'aritmetica modulare.
In particolar modo su una proprietà dei numeri in modulo 9 (mod 9)
Ogni numero in modulo 9 è congruente alla somma delle sue cifre.
Dimostrazione
Il numero 10n-1 con n>0 è composto da n cifre 9.
$$ 10^n-1 = 999...99 $$
Esempio. $$ 10^3-1 = 1000-1 = 999 $$
Quindi, ogni numero 10n-1 è sicuramente divisibile per 9.
Questo mi permette di scrivere la seguente congruenza
$$ 10^n-1 \equiv 0 \:\:\: (mod \: 9) $$
Sommo a entrambi i membri dell'equivalenza +1
$$ 10^n-1+1 \equiv 0+1 \:\:\: (mod \: 9) $$
e ottengo
$$ 10^n \equiv 1 \:\:\: (mod \: 9) $$
Pertanto, per ogni n>0 il numero 10n equivale a 1 in modulo 9.
Dato un qualsiasi numero intero z in modulo 9.
$$ z = a^n \cdot 10^n + ... + a^1 \cdot 10^1 + a^0 \cdot 10^0 \:\:(mod \:9)$$
Esempio. Se z=124 $$ z = 1 \cdot 10^2 +2 \cdot 10^1 + 4 \cdot 10^0 \:\:(mod \:9)$$
Posso sostituire 1 ai fattori10k con k=1...n
$$ z = a^n \cdot 1 + ... + a^1 \cdot 1 + a^0 \cdot 10^0 :\:(mod \:9) $$
Esempio. $$ z = 1 \cdot 1 +2 \cdot 1 + 4 \cdot 10^0 \:\:(mod \:9)$$
Essendo 100 uguale a 1, perché qualsiasi numero elevato a zero è uno, sostituisco anche quest'ultimo.
$$ z = a^n \cdot 1 + ... + a^1 \cdot 1 + a^0 \cdot 1 :\:(mod \:9) $$
Esempio. $$ z = 1 \cdot 1 +2 \cdot 1 + 4 \cdot 1 \:\:(mod \:9)$$
Ho così dimostrato che qualsiasi numero intero in modulo 9 è congruente con la somma delle sue cifre
$$ z = a^n + ... + a^1 + a^0 :\:(mod \:9) $$
Esempio. $$ z = 1 +2 + 4 = 7 \:\:(mod \:9)$$ Pertanto, il numero 124 è congruente a 7 in modulo 9. $$ 124 \equiv 7 \:\:(mod \:9) $$ La congruenza è vera perché le divisioni 124/9 e 7/9 hanno entrambi resto 7. Pertanto, i numeri interi 124 e 7 sono congruenti modulo 9.
Perché la prova del nove non è sicura?
La prova del nove è una condizione necessaria ma non sufficiente alla correttezza del risultato.
Se il risultato dell'operazione aritmetica è sbagliato ma appartiene alla stessa classe di equivalenza del risultato corretto, la prova del nove non lo rileva.
Esempio
Questa operazione è corretta
$$ 34 \cdot 12 = 408 $$
La prova del nove è soddisfatta
$$ (3+4) \cdot (1+2) = (4+0+8) $$
$$ 7 \cdot 3 = (12) $$
$$ 21 = (1+2) $$
$$ 2+1 = 3 $$
$$ 3 = 3 $$
Tuttavia, se rifacessi il calcolo con il risultato sbagliato (201) che fornisce comunque un valore ridotto uguale a 3
$$ 34 \cdot 12 = 201 $$
Sapendo che 34 per 12 equivale a 3
$$ 3 = 2+0+1 $$
$$ 3 = 3 $$
La prova del nove è comunque soddisfatta anche se il risultato è errato.
E' un falso positivo.
Questo accade perché 201 e 408 appartengono alla stessa classe di equivalenza modulo 9.
$$ 201 \equiv 408 \:\:\: (mod \: 9) $$
E così via
