Iperoperazioni
Le iperoperazioni sono una gerarchia di operazioni matematiche che estendono le operazioni aritmetiche di base (addizione, moltiplicazione, ecc.) a livelli sempre più complessi.
Questa gerarchia inizia dal livello zero, detta successore, che è fondamentale per definire le operazioni successive.
La sequenza delle iperoperazioni può essere definita ricorsivamente come segue:
| n | Hn(a,b) | Descrizione |
|---|---|---|
| 0 | \(H_0(a, b) = b + 1\) | Successore |
| 1 | \(H_1(a, b) = a + b\) | Addizione |
| 2 | \(H_2(a, b) = a \times b\) | Moltiplicazione |
| 3 | \(H_3(a, b) = a \uparrow b = a^b\) | Elevamento a potenza |
| 4 | \(H_4(a, b) = a \uparrow\uparrow b =^ba \) | Tetrazione |
A questi livelli ne seguono altri successivi come la pentazione, ecc.
Le iperoperazioni offrono una struttura ordinata per esplorare operazioni matematiche che vanno oltre i limiti delle operazioni aritmetiche tradizionali.
Ogni iperoperazione equivale a ripetere più volte l'iperoperazione precedente, quella con il livello più basso.
L'iperoperazione può essere scritta anche in questa notazione
$$ H_n(a,b) = a [n] b $$
Dove $ n $ indica l'iperazione (es. 1 è l'addizione, 2 è la moltiplicazione, ecc. )
Nota. Quando si affrontano calcoli che coinvolgono iperoperazioni, è essenziale ricordare di applicare l'associatività correttamente, partendo sempre dalla parte destra dell'operazione. In particolar modo a partire dalla tetrazione in poi. Ad esempio nella tetrazione vale l'associatività a destra $$ ^33 = 3^{3^3} = 3^{ (3^3) } = 3^{27} $$ E' invece sbagliato scrivere $ 3^{3^3} =(3^3)^3 = 27^3 $ perché in questo caso viene applicata l'associatività a sinistra e il risultato è completamente diverso.
Livello zero (funzione successore)
L'operazione al livello zero è la funzione successore. Per un numero \(a\), il successore di \(a\) è \(a + 1\).
$$ H_0(a, b) = b + 1 $$
In questo contesto, \(a\) non gioca un ruolo attivo nell'operazione. L'operazione serve semplicemente a incrementare il secondo operando di uno.
$$ s: \mathbb{N} \rightarrow \mathbb{N} $$
$$ s: n \rightarrow n+1 $$
Quindi, a livello zero l'iperoperazione è un'operazione unaria ossia a un solo argomento.
Esempio
$$ H_0(a, 3) = 3 + 1 = 4 $$
Livello uno (addizione)
Il livello uno delle iperoperazioni è l'addizione, che rappresenta la più semplice forma di combinazione di due numeri.
$$ H_1(a, b) = a + b $$
In altre parole, \( H_1(a, b) \) è semplicemente la somma di \( a \) e \( b \). Qui, l'operazione consiste nell'aggiungere il numero \( b \) al numero \( a \).
Equivale a dire che l'iperoperazione precedente (successore) deve essere ripetuta \( b \) volte a partire da \( a \).
Nelle iperoperazioni, posso anche esprimere l'addizione usando la notazione \( a[1]b \), dove l'indice "[1]" indica che stiamo eseguendo l'operazione al livello uno, cioè l'addizione: $$ H_1(a, b) = a [1] b = a + b $$
Esempio
Considero l'operazione \( H_1(a, 3) \). Questa operazione equivale a sommare \( a \) e 3.
$$ H_1(a, 3) = a[1]3 = a+3 $$
Se $ a=2 $ devo ripetere l'operazione precedente (successore) per $ b=3 $ volte a partire da $ a $.
$$ H_1(2, 3) = (((2+1)+1) + 1) = 5 $$
Riepilogando
$$ H_1(2, 3) = 2 + 3 = 5 $$
Quindi, il risultato dell'operazione \( H_1(2, 3) \) è 5.
Livello due (moltiplicazione)
Il livello due delle iperoperazioni è la moltiplicazione. Questo livello rappresenta la ripetizione dell'operazione di addizione, esattamente come l'elevamento a potenza è la ripetizione della moltiplicazione nel livello successivo.
$$ H_2(a, b) = a \times b $$
Qui, \( H_2(a, b) \) rappresenta il prodotto di \( a \) e \( b \). In altre parole, \( a \) viene sommato a sé stesso \( b \) volte.
La moltiplicazione può essere vista come l'addizione ripetuta di un numero per un certo numero di volte.
Esempio
Considero l'operazione \( H_2(a, 3) \). Questa operazione si traduce nel moltiplicare \( a \) per 3:
$$ H_2(a, 3) = a[2]3 = a \times 3 $$
Se, ad esempio, \( a = 4 \):
$$ H_2(4, 3) = \underbrace{4 + 4 + 4}_{3 \ volte} = 12 $$
In questo caso \( a \) viene sommato (la somma è l'operazione precedente alla moltiplicazione) a se stesso per tre volte \( b=3 \). Il che equivale a dire:
$$ H_2(4, 3) = 4 \times 3 = 12 $$
Quindi, il risultato dell'operazione \( H_2(4, 3) \) è 12.
In sintesi, il livello due delle iperoperazioni trasforma l'addizione ripetuta in un'unica operazione di moltiplicazione. Questo semplifica e rende più efficiente il calcolo di somme ripetute.
Livello tre (elevamento a potenza)
Il livello tre delle iperoperazioni corrisponde all'elevamento a potenza. Questa operazione, indicata come \( H_3(a, b) \), rappresenta un'estensione della moltiplicazione, in cui un numero \( a \) viene moltiplicato per sé stesso \( b-1 \) volte.
$$ H_3(a, b) = a^b $$
In termini semplici, l'elevamento a potenza è un modo per esprimere la moltiplicazione ripetuta.
Esempio
Prendo in considerazione \( H_3(a, 3) \):
$$ H_3(a, 3) = a^3 $$
Se a=2
$$ H_3(2, 3) = 2^3 = 8 $$
In questo caso, \( 2 \) viene moltiplicato per sé stesso due volte (cioè, si effettuano due moltiplicazioni), dando come risultato \( 8 \).
Livello quattro (tetrazione)
Il livello quattro delle iperoperazioni è noto come tetrazione.
La tetrazione di un numero \(a\) per \(b\) volte si indica con \(H_4(a, b)\) o con la notazione di Knuth con due frecce verso l'alto:
$$ H_4(a, b) = a \uparrow\uparrow b \quad (\text{usando la notazione di Knuth per la tetrazione}) $$
Questa operazione va oltre l'elevamento a potenza e coinvolge l'iterazione di potenze in modo ripetuto.
Mentre l'elevamento a potenza (livello tre) consiste nel moltiplicare un numero per sé stesso un certo numero di volte, la tetrazione eleva un numero a una potenza ripetutamente.
$$ H_4(a, b) = a^{a^{a^{...^{a}}}} \quad \text{(con \(b\) livelli di potenza)} $$
Il livello quattro delle iperoperazioni è un'estensione dell'elevamento a potenza ed è capace di generare rapidamente numeri esponenzialmente grandi attraverso la ripetizione delle potenze.
Esempio
Per calcolare \(H_4(a, 3)\), eseguo il seguente processo:
$$ H_4(a, 3) = a \uparrow\uparrow 3 = a^{a^a} $$
Se $ a = 2 $
$$ H_4(2, 3) = 2 \uparrow\uparrow 3 = 2^{2^2} = 2^4 = 16 $$
Bisogna ricordarsi che vale l'associatività a destra. Quindi, si calcola prima \(2^2\), che dà 4 e poi si eleva 2 alla potenza di 4: \(2^4 = 16\).
La tetrazione è la prima iperoperazione che produce risultati enormemente grandi anche per valori piccoli di \(a\) e \(b\).
Questa operazione trova applicazione in teoria dei numeri, combinatoria e altri campi avanzati della matematica dove si studiano grandi numeri e processi iterativi.
La proprietà associativa a destra nelle iperoperazioni
Nelle iperoperazioni deve essere applicata l'associatività a destra, ovvero le operazioni vengono valutate da destra verso sinistra.
E' particolarmente importante a partire dalla tetrazione in poi, perché può portare a risultati molto diversi rispetto a un'approccio associativo a sinistra..
Esempio
Considero l'esempio della tetrazione \(3^{3^3}\).
Seguendo l'associatività a destra ottengo:
$$ 3^{3^3} = 3^{(3^3)} = 3^{27} $$
In questo caso, calcolo prima \(3^3\) che è uguale a 27, e poi elevo 3 alla potenza di 27, che dà un risultato molto grande.
Se invece applicassi erroneamente l'associatività a sinistra, otterrei:
$$ (3^3)^3 = 27^3 $$
In questo caso, calcolo prima \(3^3 = 27\), e poi elevo 27 alla potenza di 3, che è un risultato completamente diverso.
L'associatività a destra è cruciale nelle iperoperazioni come la tetrazione e operazioni superiori.
Non tenerla a mente può portare a errori significativi nei calcoli, specialmente quando si lavora con grandi esponenti o con operazioni complesse come la tetrazione, la pentazione o l'esazione.
E così via.
