Come verificare tre punti allineati nello spazio
Tre punti A,B,C nello spazio sono allineati se i vettori AB e BC sono vettori linearmente dipendenti.
In questo caso esiste una retta che comprende tutti i punti.
Quando due vettori sono linearmente dipendenti?
Due vettori sono linearmente dipendenti quando la matrice composta dai vettori in colonna ha un rango uguale o inferiore a 1.
$$ r_k \begin{pmatrix} v_1 , v_2 \end{pmatrix} \le 1 $$
Esempi
Esempio ( spazio a 3 dimensioni )
Dati tre punti nello spazio R3
$$ A \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ 3 \end{pmatrix} $$
$$ B \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \\ 2 \end{pmatrix} $$
$$ C \begin{pmatrix} -1 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix} $$
Per controllare se sono punti allineati, prendo in considerazione due vettori.
$$ AB = \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ 3 \end{pmatrix} - \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \\ 2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ 1 \end{pmatrix} $$
$$ CB = \begin{pmatrix} -1 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix} - \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \\ 2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -1 \\ -1 \\ -1 \end{pmatrix} $$
Due vettori sono linearmente dipendenti se il rango (r) della matrice composta dai vettori è uguale o inferiore a 1.
$$ M = \begin{pmatrix} 1 & -1 \\ 1 & -1 \\ 1 & -1 \end{pmatrix} $$
In questo caso il rango della matrice è uguale a 1
$$ r(M) = 1 $$
Quindi, i due vettori sono linearmente dipendenti e i tre punti sono allineati tra loro.
Esempio ( spazio a 2 dimensioni )
Lo stesso principio vale per i punti in uno spazio a 2 dimensioni R2.
$$ A \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \end{pmatrix} $$
$$ B \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \end{pmatrix} $$
$$ C \begin{pmatrix} -1 \\ 0 \end{pmatrix} $$
Per verificare se sono punti allineati, considero i seguenti due vettori.
$$ AB = \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \end{pmatrix} - \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \end{pmatrix} $$
$$ CB = \begin{pmatrix} -1 \\ 0 \end{pmatrix} - \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -1 \\ -1 \end{pmatrix} $$
Poi calcolo il rango della matrice composta dai due vettori in colonna.
$$ M = \begin{pmatrix} 1 & -1 \\ 1 & -1 \end{pmatrix} $$
Il rango della matrice è uguale a 1
$$ r(M) = 1 $$
Pertanto, i due vettori sono linearmente dipendenti e i tre punti sono allineati tra loro.
Corollario. Va da sé che tutti i punti nello spazio a 1 dimensione sono tutti linearmente dipendenti perché in uno spazio vettoriale R1 la matrice è composta da una sola colonna.
