La relazione inversa

Data una relazione aRb definita nel prodotto cartesiano AxB la sua relazione inversa bR^-1a è un sottoinsieme di BxA composto dalle coppie (b;a) tali che aRb è vera.

Detto in modo più semplice, se aRb è una relazione dall'insieme A all'insieme B, la relazione inversa bR^-1a è una relazione dall'insieme B all'insieme A.

Si ottiene trovando una relazione R^-1 che inverte l'ordine di tutte le coppie (a;b) in nuove coppie (b;a)

Dal punto di vista grafico la relazione inversa è una freccia in senso inverso bR^-1a per ogni freccia della relazione aRb tra gli insiemi A e B.

Pertanto, il dominio della relazione inversa coincide con il codominio della relazione.

$$ \text{dominio} \ R^{-1} = \text{codominio} \ R $$

Inoltre, il codominio della relazione inversa coincide con il dominio della relazione.

$$ \text{codominio} \ R^{-1} = \text{dominio} \ R $$

Nota. Una relazione inversa bR^-1a è vera se e solo se la relazione aRb è vera. $$ bR^{-1}a \Leftrightarrow aRb $$

Un esempio pratico

Considero gli insiemi finiti A e B

$$ A = \{2,3,4,5,6 \} $$

$$ B = \{4,9,16,25,36 \} $$

La relazione R collega ogni elemento di A con la sua potenza al quadrato in B

$$ aRb \ : \ b=a^2 $$

Pertanto la relazione è un sottoinsieme del prodotto cartesiano AxB ossia di coppie ordinate (a;b)

$$ aRb = \{ (2,4), (3,9), (4,16) , (5,25), (6,36) \} \subset AxB $$

Questa è la rappresentazione sagittale della relazione aRb

La relazione inversa R^-1 collega ogni elemento di B con la sua radice quadrata in A

$$ bR^{-1}a \ : \ a= \sqrt{b} $$

Pertanto la relazione è un sottoinsieme del prodotto cartesiano BxA ossia di coppie ordinate (b;a)

$$ bR^{-1}a = \{ (4,2), (9,3), (16,4) , (25,5), (36,6) \} \subset BxA $$

Dal punto di vista grafico il verso della relazione inversa è opposto alla precedente.

Nota. Nella relazione aRb le coppie sono (a;b). Nella relazione inversa bR^-1a le coppie sono in ordine inverso ossia (b;a).

E così via