Teorema della continuità delle funzioni derivabili
Una funzione f(x) derivabile in x è anche una funzione continua in x. $$ \lim_{h \rightarrow 0} f(x)=f(x) $$ o equivalentemente $$ \lim_{h \rightarrow 0} f(x+h)=f(x) $$
Non è detto però il contrario.
Una funzione continua in x non è detto che sia anche una funzione derivabile in x.
Dimostrazione
Se la funzione è derivabile in x allora esiste il limite del rapporto incrementale per h→0.
$$ \lim_{h \rightarrow 0} \frac{f(x+h)-f(x)}{h} $$
Per essere anche una funzione continua, la funzione f(x) deve rispettare questa condizione
$$ \lim_{h \rightarrow 0} f(x+h) = f(x) $$
ossia
$$ \lim_{h \rightarrow 0} f(x+h) - f(x) = 0 $$
Nota. La condizione di continuità di una funzione è la seguente: $$ \lim_{x \rightarrow x_0} f(x) = f(x_0) $$ $$ \lim_{x+h \rightarrow x} f(x+h) = f(x) \:\:\:\: con \:\: x=x+h \:\: e \:\: x_0=x $$ $$ \lim_{h \rightarrow x-x} f(x+h) = f(x) $$ $$ \lim_{h \rightarrow 0} f(x+h) = f(x) $$
Riscrivo l'espressione f(x-h)-f(x) in una forma algebrica equivalente.
Moltiplico e divido per h.
$$ f(x+h)-f(x)=\frac{f(x+h)-f(x)}{h} \cdot h $$
Questa identità è logicamente vera. Il membro di sinistra è uguale al membro di destra.
A questo punto calcolo il limite su entrambi i membri dell'equazione .
$$ \lim_{h \rightarrow 0} f(x+h) - f(x) = \lim_{h \rightarrow 0} \frac{f(x+h)-f(x)}{h} \cdot h $$
Per l'algebra dei limiti posso suddividere il limite sulle singole componenti al membro di destra.
$$ \lim_{h \rightarrow 0} f(x+h) -f(x) = \lim_{h \rightarrow 0} \frac{f(x+h)-f(x)}{h} \cdot \lim_{h \rightarrow 0} h $$
L'ultimo limite è nullo e annulla anche il penultimo fattore.
$$ \lim_{h \rightarrow 0} f(x+h) -f(x)= \lim_{h \rightarrow 0} \frac{f(x+h)-f(x)}{h} \cdot 0 $$
$$ \lim_{h \rightarrow 0} f(x+h) -f(x)= 0 $$
Se il membro di destra è uguale a 0 allora anche il membro di sinistra dell'identità deve essere uguale a 0
Ho così dimostrato la continuità della funzione derivabile.
$$ \lim_{h \rightarrow 0} f(x+h) - f(x) = 0 $$
Perché una funzione continua non è detto che sia derivabile
Basta considerare come controesempio la funzione del valore assoluto
$$ f(x)=|x| $$
E' una funzione continua in x=0 ma non è derivabile in x perché il limite sinistro e il limite destro sono diversi.
$$ \lim_{h \rightarrow 0^-} \frac{f(0+h)-f(0)}{h} = \lim_{h \rightarrow 0^-} \frac{|h|}{h} = \lim_{h \rightarrow 0^-} \frac{h}{-h} = -1 $$
$$ \lim_{h \rightarrow 0^+} \frac{f(0+h)-f(0)}{h} = \lim_{h \rightarrow 0^+} \frac{|h|}{h} = \lim_{h \rightarrow 0^+} \frac{h}{h} = +1 $$
Pertanto, in questo caso la funzione è continua in x=0 ma non è derivabile in x=0.
La continuità non è una condizione sufficiente per la derivabilità.