La derivata di una funzione razionale

Per derivare una funziona razionale fratta applico la regola di derivazione del quoziente di due funzioni.

Cos'è una funzione razionale? E' il rapporto tra due polinomi. Ad esempio $$ f(x) = \frac{2x^2+3x-1}{4x^3-2x^2+3} $$

Un esempio pratico

Ho questa funzione razionale

$$ P(x) = \frac{-x^2-2x}{1-x} $$

$$ \frac{f(x)}{g(x)} = \frac{f'(x)g(x) - f(x)g'(x)}{g(x)^2} $$

Applico la regola al polinomio precedente considerando:

$$ f(x)=-x^2-2x $$

$$ g(x)=1-x $$

Pertanto

$$ P'(x) = \frac{D[-x^2-2x] \cdot (1-x) - (-x^2-2x) \cdot D[1-x]}{(1-x)^2} $$

$$ P'(x) = \frac{(-2x-2) \cdot (1-x) - (-x^2-2x) \cdot (-1)}{(1-x)^2} $$

$$ P'(x) = \frac{(-2x+2x^2-2+2x) - (x^2+2x)}{(1-x)^2} $$

$$ P'(x) = \frac{x^2-2x-2 }{(1-x)^2} $$