La derivata delle funzioni esponenziali
La derivata di una funzione esponenziale f(x)=ax con a>0 è $$ D[a^x] = a^x \cdot \log a $$
Un esempio pratico
Devo derivare la funzione
$$ f(x) = a^{2x} $$
Si tratta di una funzione composta.
Pertanto devo applicare la regola di derivazione delle funzioni composte.
$$ f'(x)=D[a^{2x}] \cdot D[2x] $$
La prima derivata è la derivata dell'esponenziale
$$ f'(x)=a^{2x} \log a \cdot D[2x] $$
La seconda derivata è la derivata di 2x ossia 2
$$ f'(x)=a^{2x} \log a \cdot 2 $$
Ho così trovato la derivata della funzione
$$ f'(x)= 2 \cdot a^{2x} \log a $$
Dimostrazione
Per dimostrare la seguente regola di derivazione
$$ D[a^x] = a^x \cdot \log a $$
faccio riferimento a una proprietà delle funzioni esponenziali secondo cui
$$ e^{\log x} = x $$
Riscrivo la derivata nella forma equivalente
$$ D[a^x] $$
$$ D[e^{\log a^x}] $$
$$ D[e^{x \cdot \log a}] $$
Poi applico la regola di derivazione delle funzioni composte
$$ D[e^{x \cdot \log a}] \cdot D[ x \log a] $$
$$ e^{x \cdot \log a} \cdot ( 1 \cdot \log a + x \cdot 0 ) $$
$$ e^{x \cdot \log a} \cdot ( \log a ) $$
$$ e^{\log a^x} \cdot ( \log a ) $$
$$ a^x \cdot \log a $$
Ho così dimostrato la regola di derivazione.
E così via.
