La derivata della funzione arcocoseno
La derivata della funzione arcocoseno è $$ D[ \arccos x] = \frac{-1}{ \sqrt{1-x^2} } $$
La derivata dell'arcocoseno si ottiene tramite la regola di derivazione delle funzioni inverse.
Nota. In trigonometria l'arcocoseno è la funzione inversa del coseno nell'intervallo (0,π).
Cos'è l'arcocoseno
La funzione coseno non è monotona su tutto il campo di definizione R.
$$ f(x) = \cos x $$
Tuttavia, se prendo in considerazione l'intervallo chiuso [0,π] la funzione coseno diventa monotona e strettamente decrescente con valori compresi nell'intervallo [1,-1].
Essendo una funzione continua e monotona, nell'intervallo [0,π] la funzione coseno è anche una funzione invertibile.
La funzione inversa del coseno è detta arcocoseno
$$ f^{-1}(x) = \arccos x $$
Perché si chiama arcocoseno? Si chiama arcocoseno perché misura l'arco ossia la circonferenza, i gradi o radianti che determinano il valore del coseno.
Coseno e seno sono funzioni inverse l'una dell'altra. $$ y = \cos x \\ x = \arccos y $$ Quindi $$ y = \cos ( \arccos y ) \\ x =\arccos( \cos x ) $$
L'intervallo chiuso [-1,1] è il campo di definizione dell'arcocoseno.
Quindi, posso derivare la funzione arcocoseno nell'intervallo aperto (-1,1).
La dimostrazione e spiegazione
La funzione arcocoseno è l'inversa della funzione coseno.
$$ f^{-1}(f(y)) = \arccos x $$
dove f(y) è
$$ f(y) = \cos y $$
Per calcolare la derivata dell'arcocoseno uso la regola di derivazione delle funzioni inverse
$$ D[f^{-1}] = \frac{1}{D[f(y)]} $$
$$ D[ \arccos x ] = \frac{1}{D[ \cos y ]} $$
$$ D[ \arccos x ] = \frac{1}{ - \sin y } $$
Nota. Sapendo che la relazione tra il coseno e il seno è $$ \sin y = \sqrt{1- \cos^2 y} $$
$$ D[ \arccos x ] = \frac{1}{ - \sqrt{1- \cos^2 y} } $$
$$ D[ \arccos x ] = - \frac{1}{ \sqrt{1 - \cos^2 y} } $$
Nota. Sapendo che $$ y= \arccos x $$ Quindi $$ \cos y = \cos( \arccos x) = x $$ Posso modificare il denominatore con $$ \cos^2 y = \cos^2 ( \arccos x ) = x^2 $$
$$ D[ \arccos x ] = - \frac{1}{ \sqrt{1- x^2} } $$
In questo modo ho dimostrato la formula della derivata dell'arcocoseno.
E così via.
