Derivata della funzione coseno

Definizione

La derivata del coseno è $$ D[cos x] = -sin x $$

La dimostrazione

Calcolo il rapporto incrementale della funzione coseno.

$$ \lim_{h \rightarrow 0} \frac{cos(x+h)-cos(x)}{h} $$

Secondo una formula trigonometrica

$$ cos \: a - cos \: b = -2sin \frac{a-b}{2} \cdot sin \frac{a+b}{2} $$

Posso applicare questa formula al numeratore del rapporto incrementale dove

$$ a = x+h $$

$$ b = x $$

Quindi riscrivo il rapporto incrementale in questa forma

$$ \lim_{h \rightarrow 0} \frac{ -2 \cdot sin \: \frac{x+h-x}{2} \cdot sin \: \frac{x+h+x}{2}}{h} $$

$$ \lim_{h \rightarrow 0} \frac{ -2 \cdot sin \: \frac{h}{2} \cdot sin \: x+ \frac{h}{2}}{h} $$

Moltiplico numeratore e denominatore per 1/2.

$$ \lim_{h \rightarrow 0} \frac{ -2 \cdot sin \: \frac{h}{2} \cdot sin \: x+ \frac{h}{2}}{h} \cdot \frac{\frac{1}{2}}{\frac{1}{2}} $$

$$ \lim_{h \rightarrow 0} \frac{ - sin \: \frac{h}{2} \cdot sin \: x+ \frac{h}{2}}{\frac{h}{2}} $$

$$ \lim_{h \rightarrow 0} \frac{ - sin \: \frac{h}{2} }{\frac{h}{2}} \cdot sin \: x+ \frac{h}{2} $$

$$ \lim_{h \rightarrow 0} \frac{ - sin \: \frac{h}{2} }{\frac{h}{2}} \cdot \lim_{h \rightarrow 0} sin \: x+ \frac{h}{2} $$

Ho così ottenuto due limiti e posso calcolarli separatamente.

Il primo limite è un limite notevole

$$ \lim_{h \rightarrow 0} \frac{sin \: x}{x} = 1 $$

quindi con x=h/2

$$ \lim_{h \rightarrow 0} \frac{ - sin \: \frac{h}{2} }{\frac{h}{2}} $$

$$ -1 \cdot \lim_{h \rightarrow 0} \frac{ sin \: \frac{h}{2} }{\frac{h}{2}} = -1 \cdot 1 = -1 $$

Il secondo limite è facilmente calcolabile.

$$ \lim_{h \rightarrow 0} sin \: x+ \frac{h}{2} = sin \: x $$

Pertanto

$$ \lim_{h \rightarrow 0} \frac{ - sin \: \frac{h}{2} }{\frac{h}{2}} \cdot \lim_{h \rightarrow 0} sin \: x+ \frac{h}{2} = -1 \cdot sin \:x $$

Ho così dimostrato che la derivata di cos x è -sin x.

La rappresentazione grafica

Un esempio pratico

Prendo come esempio la seguente funzione

$$ f(x) = cos \: (x^2)$$

Attenzione. Quando la funzione coseno non è semplice si tratta di una funzione composta del tipo f(g(x)). Quindi il risultato della precedente funzione non è semplicemente cos(x²) perchè va applicata la regola di derivazione delle funzioni composte.

Essendo una funzione composta e devo applicare la regola

$$ f'(x) = f'(g(x)) \cdot g'(x) $$

dove

$$ f'(g(x)) = D[cos(g(x))] = -sin(x^2) $$

$$ g'(x) = D[x^2] = 2x $$

Ora, sostituendo i valori la derivata della funzione composta diventa

$$ f'(x) = f'(h(x)) \cdot g'(x) $$

$$ f'(x) = -sin(x^2) \cdot 2x $$

In conclusione la derivata della funzione cos x² è

$$ f'(x) = - 2x sin(x^2) $$

La rappresentazione grafica

E così via.