Come trovare la velocità dall'accelerazione rispetto allo spazio
La formula per conoscere la velocità di un corpo in moto uniformemente accelerato, conoscendo la velocità iniziale v0 e l'accelerazione a(x) rispetto allo spazio è la seguente: $$ v^2 = v_0^2 + 2a (x-x_0) $$
La spiegazione
Conosco la funzione di accelerazione a(x) rispetto allo spazio
$$ a(x) $$
Conoscendo la legge oraria x(t)=x del moto del corpo, la riscrivo nel seguente modo.
$$ a(x) = a(x(t)) $$
Per svolgere la dimostrazione, devo calcolare la velocità rispetto allo spazio v(x).
$$ v(x) = v(x(t)) $$
So già che la derivata della velocità rispetto al tempo (t) è uguale all'accelerazione
$$ a= \frac{dv}{dt} $$
In questo caso però la velocità è in funzione dello spazio v(x) e lo spazio è in funzione del tempo x(t)
$$ a= \frac{dv(x(t))}{dt} $$
La funzione v(x(t)) è una funzione di funzione.
Quindi, posso usare la regola di derivazione delle funzioni composte.
$$ D[f(g(x))]=f'[g(x)]⋅g'(x) $$
$$ D [v(x(t))] = v'[x(t)]⋅x'(t) $$
A questo punto, riscrivo l'accelerazione nel seguente modo
$$ a= \frac{dv}{dx} \cdot \frac{dx}{dt} $$
Sapendo che v=dx/dt la sostituisco nell'equazione precedente
$$ a= \frac{dv}{dx} \cdot v $$
Poi sposto dx a destra
$$ a \: dx = v \: dv $$
Questa relazione lega le variazioni dello spazio (dx) e della velocità (dv) tra loro.
Esempio. Un punto si trova nella posizione x0 (spazio) e si muove alla velocità v0 con un'accelerazione a. Se la variazione dello spazio è dx (incremento spazio) allora il punto subisce una variazione dv della velocità. E così via.
Ora calcolo l'integrale di entrambi i membri rispetto allo spostamento x-x0 e alla variazione di velocità v-v0.
$$ \int_{x_0}^{x} a \: dx = \int_{v_0}^{v} v \: dv $$
Svolgo il secondo integrale per differenza
$$ \int_{x_0}^{x} a \: dx = \frac{1}{2} v^2 - \frac{1}{2} v_0^2 $$
$$ \frac{1}{2} v_0^2 + \int_{x_0}^{x} a \: dx = \frac{1}{2} v^2 $$
So già che in un moto uniformemente accelerato l'accelerazione (a) è costante a=(x-x0)
Sostituisco l'integrale e svolgo qualche calcolo algebrico
$$ \frac{1}{2} v_0^2 + a (x-x_0) = \frac{1}{2} v^2 $$
$$ \frac{v_0^2 + 2a (x-x_0)}{2} = \frac{1}{2} v^2 $$
$$ v_0^2 + 2a (x-x_0) = 2 \cdot \frac{1}{2} v^2 $$
$$ v_0^2 + 2a (x-x_0) = v^2 $$
Ho così ottenuto la formula che determina la velocità a partire dall'accelerazione (a) e dalla velocità iniziale del corpo (v0).
$$ v^2 = v_0^2 + 2a (x-x_0) $$
E così via.
