Numeri felici
Un numero felice è un numero naturale che genera una successione che porta a 1 $$ n_0, n_1, n_2, ... , n_i $$ Dove n0 è il numero naturale stesso e gli altri termini ni sono la somma dei quadrati delle cifre del termine precedente. Viceversa, se la successione non porta a 1 è detto numero infelice.
Nel caso dei numeri felici questa procedura ha termine
leggi N
ripeti finché N=1:
N = somma dei quadrati delle cifre di N
Nel caso dei numeri felici questo algoritmo termina in un numero finito di passi.
Nel caso dei numeri infelici, invece, l'algoritmo entra in loop ripetendo una stessa sequenza di numeri all'infinito.
Un esempio pratico
Esempio 1
Il numero 44 è un numero felice
$$ n = 44 \\ n = 4^2 + 4^2 = 32 \\ n = 3^2 + 2^2 = 13 \\ n = 1^2+3^2 = 10 \\ n = 1^2 + 0^2 = 1 $$
perché genera una successione che porta a uno in numero finito di termini
$$ 44 , 32 , 13, 10, 1 $$
Qualsiasi ulteriore termine sarebbe uguale a 1 perché 12=1
$$ 44 , 32 , 13, 10, 1, 1, 1, 1, 1, ... $$
Nota. Se un numero è un numero felice, allora anche tutti i numeri della sequenza sono dei numeri felici. Pertanto, nel caso del numero 44 deduco che sono numeri felici anche 32, 13 e 10. $$ 44 , 32 , 13, 10, 1 $$
Esempio 2
Il numero 18 non è un numero felice perché uno stesso numero (37) viene generato 2 volte.
$$ n = 18 \\ n = 1^2 + 8^2 = 65 \\ n = 6^2 + 5^2 = 61 \\ n = 6^2+1^2 = \color{red}{37} \\ n = 3^2 + 7^2 = 58 \\ n = 5^2 + 8^2 = 89 \\ n = 8^2 + 9^2 = 145 \\ n = 1^2 + 4^2 + 5^2 = 42 \\ n = 4^2 + 2^2 = 20 \\ n = 2^2 + 0^2 = 4 \\ n = 4^2 = 16 \\ n = 1^2 + 6^2 = \color{red}{37} $$
Da questo termine in poi la procedura entra in loop ripetendo la stessa sequenza da 37 a 16 all'infinito.
Pertanto, il numero 18 è un numero infelice.
I numeri felici da 1 a 100
Nei primi cento numeri naturali ci sono 20 numeri felici.
| numero | sequenza |
|---|---|
| 1 | →1 |
| 7 | →49→97→130→10→1 |
| 10 | →1 |
| 13 | →10→1 |
| 19 | →82→68→100→1 |
| 23 | →13→10→1 |
| 28 | →68→100→1 |
| 31 | →10→1 |
| 32 | →13→10→1 |
| 44 | →32→13→10→1 |
| 49 | →97→130→10→1 |
| 68 | →100→1 |
| 70 | →49→97→130→10→1 |
| 79 | →130→10→1 |
| 82 | →68→100→1 |
| 86 | →100→1 |
| 91 | →82→68→100→1 |
| 94 | →97→130→10→1 |
| 97 | →130→10→1 |
| 100 | →1 |
