Come trovare due numeri a e b la cui somma sia s e il prodotto p

Come capire quali numeri interi a e b hanno per somma a+b=s e per prodotto ab=p $$ a+b=s $$ $$ a \cdot b =p $$

Per trovare i due numeri a e b applico questo algoritmo

1. Considero la metà della somma s/2
2. Sommo e sottraggo alla metà della somma un numero intero positivo d ancora da individuare $$ a = \frac{s}{2} + d $$ $$ b = \frac{s}{2} - d $$
3. Moltiplico (s/2+d) e (s/2-d) per ricavare d
4. Una volta noto d trovo anche i numeri a e b

Questo algoritmo di calcolo sembra derivare dai babilonesi.

Un esempio pratico

Trovare i numeri la cui somma sia s=24 e il prodotto p=88

$$ a+b=24 $$

$$ a \cdot b=88 $$

Considero la metà della somma s/2=12

$$ \frac{s}{2} = \frac{24}{2} = 12 $$

I numeri da trovare sono

$$ a = \frac{s}{2} + d = 12 + d $$

$$ b = \frac{s}{2} - d = 12 - d $$

Sapendo che

$$ a \cdot b = 88 $$

Sostituisco a=12+d e b=12-d

$$ (12+d) \cdot (12-d) = 88 $$

Poi svolgo il prodotto

$$  12 \cdot 12 + 12 \cdot (-d) + d \cdot 12 + d \cdot (-d) = 88 $$

$$ 144-12d+12d-d^2 = 88 $$

$$ -d^2+144 = 88 $$

$$ -d^2 = 88-144 $$

$$ -d^2 = -56 $$

Per la proprietà invariantiva moltiplico entrambi i membri per -1

$$ -d^2 \cdot (-1) = -56 \cdot (-1) $$

$$ d^2 = 56 $$

Calcolo la radice quadrata in entrambi i membri

$$ \sqrt{ d^2 } = \sqrt{ 56 } $$

$$ d = \sqrt{ 56 } $$

La radice quadrata di 56 è circa 7.4833

$$ d = \sqrt{ 56 } = 7.48331477355 $$

Considero per approssimazione il numero con 4 cifre decimali.

$$ d = \sqrt{ 56 } \cong 7.4833 $$

Quindi i numeri che dovevo trovare sono

$$ a = 12+d = 12+7.4833 = 19.4833 $$

$$ b = 12-d = 12-7.4833 = 4.5167 $$

Verifica. Dati i numeri $$ a = 19.4833 $$ $$ b = 4.5167 $$ La somma dei numeri è uguale a s=24 $$ a+b = 19.4833+4.5167 = 24 $$ Il prodotto dei numeri è uguale a circa p=88 $$ a \cdot b = 19.4833 \cdot 4.5167 \cong 88 $$ I calcoli sono corretti

L'esercizio termina qui.

E così via.