LABORATORIO MATEMATICO
Serie di Taylor e Maclaurin
Costruisco il polinomio di Taylor, confronto i gradi e visualizzo l’errore di approssimazione.
Polinomio e approssimazione
Cambio il grado per costruire il polinomio un termine alla volta. Anche l'errore può aumentare: Taylor non garantisce un miglioramento a ogni grado.
Costruzione del termine
Visualizza esplicitamente Pₖ₋₁(x) e il nuovo polinomio
Mostra la derivata simbolica di questo ordine
Confronto nel grafico
Vista estesa: confronto anche lontano dal centro.
La scala automatica include tutti i campioni finiti di entrambe le curve. Lo zoom verticale può tagliarne alcuni: in quel caso lo segnalo sotto il grafico.
Andamento dell'errore assoluto
Mostro |f(t) − Pₙ(t)| nella stessa finestra del grafico superiore, con scala verticale automatica o regolabile. Se ingrandisco, indico quanti campioni restano oltre il bordo. Le zone dove la funzione non è definita restano escluse.
Precisione ed errore
Errore effettivo nel punto
Resto teorico
Errore sull'intervallo tra centro e punto
L'errore effettivo riguarda un singolo punto; una maggiorazione uniforme controlla tutti i punti del segmento indicato. Il massimo campionato nel grafico non è una dimostrazione dell'errore massimo nell'intervallo.
Convergenza della serie infinita
Nel punto x scelto
Comportamento agli estremi
Il polinomio di Taylor di grado finito e la serie infinita sono oggetti diversi.
Tabella dei coefficienti
Un termine per riga. Clicco sul grado per visualizzare il polinomio parziale e la sua costruzione.
| Grado k | Coefficiente cₖ = f⁽ᵏ⁾(a)/k! | Termine aggiunto | Pₖ(x) nel punto scelto | Errore assoluto |
|---|
Il simbolo † nella colonna dell’errore indica uno zero ottenuto per arrotondamento, non un resto matematico nullo. I coefficienti si calcolano con l'algebra delle serie troncate. La derivata estesa è mostrata quando è possibile ricavarla in modo leggibile; non viene sostituita con una formula generica spacciata per esplicita.
Come funziona il metodo
- Scelgo il centro a e il grado massimo n.
- Determino i coefficienti cₖ = f⁽ᵏ⁾(a)/k! tramite serie troncate, equivalenti alla formula delle derivate.
- Aggiungo il termine cₖ(x − a)ᵏ al polinomio di grado precedente.
- Confronto il valore nel punto scelto e distinguo errore misurato, stima del resto e convergenza della serie infinita.
Se il centro è a = 0, ottengo uno sviluppo di Maclaurin. Il polinomio di Taylor di ordine finito non garantisce che la serie infinita converga o coincida con la funzione fuori dal centro. Nei punti non regolari (ad esempio abs(x) e sqrt(x) in zero) il calcolatore evita di inventare sviluppi non giustificati.