Studio dei limiti
Inserisco la funzione e il punto a cui tende x. Il laboratorio identifica la forma, sceglie il metodo disponibile e mostra i passaggi, confrontando i due limiti laterali quando necessario.
Imposta il limite
Altri esempi
Sintassi e limiti del programma
Usa ^ per le potenze, * per i prodotti e le parentesi per indicare la precedenza. Funzioni riconosciute, nei casi previsti: abs, sqrt, ln, exp, sin, cos, tan, arctan, arcsin, log2, log10, sinh, cosh, tanh. Gli angoli si esprimono in radianti. Sono disponibili anche alcuni limiti con abs(f(x)) e radici non derivabili nel punto.
Funzioni razionali fino al grado 8 e alcune forme speciali con argomenti polinomiali. Le potenze con esponente variabile sono supportate nelle forme indicate nella guida (fra cui x^x e x^(1/x)). Nei quozienti composti riconosce sostituzioni dirette, forme 0/0 e poli; nei casi analitici applica Taylor e Maclaurin fino al tredicesimo ordine nei casi supportati. In alcuni casi di somme di poli meromorfi utilizza le serie di Laurent e mostra le cancellazioni tra potenze negative. Riconosce anche somme, prodotti e potenze di oscillazioni limitate moltiplicate per fattori che tendono a zero, oscillazioni non smorzate e alcuni limiti oscillanti all’infinito. Sono aggiunte stime rigorose per oscillazioni smorzate da radicali, logaritmi ed esponenziali, anche con denominatori oscillanti separati da zero. Studia prodotti di esponenziali con esponente divergente e fattori meromorfi, quando la dominanza è dimostrabile. Le frazioni mostrate derivano da coefficienti calcolati numericamente e riconosciuti quando semplici. All’infinito confronta anche somme di esponenziali, potenze e logaritmi nei casi previsti. Se un metodo non è previsto, il modulo lo segnala.
Risultato dello studio
Studio passo passo
Interpretazione grafica
Grafico illustrativo: usa valori numerici della funzione per mostrare la tendenza, non per dimostrare il limite. La curva può essere interrotta in corrispondenza di punti non appartenenti al dominio.
Vicino al punto le oscillazioni diventano sempre più fitte: il tracciato è un campionamento e può non mostrarle tutte. Le curve tratteggiate rappresentano i limiti superiore e inferiore del prodotto oscillante.
Valori vicino al punto
I valori sono approssimazioni numeriche e aiutano a interpretare il risultato, ma non costituiscono una dimostrazione.
| x da sinistra | f(x) | x da destra | f(x) |
|---|
Funzione Retta di riferimento x = a Valore del limite Inviluppo dell’oscillazione Fascia: oscillazioni non risolte dal grafico
Metodi disponibili e limiti del modulo
Il programma studia polinomi, funzioni razionali, limiti notevoli, sviluppi di Taylor, Maclaurin e Laurent nei casi previsti, razionalizzazioni con radicali e forme ∞−∞, 0·∞, 1^∞, 0^0 e ∞^0 nei casi implementati. Confronta i limiti laterali, descrive le forme indeterminate e mostra i metodi applicati.
Le spiegazioni impiegano identità, sviluppi, teoremi del confronto, successioni e regole simboliche nei casi supportati. La v1.23 include anche certificati di non convergenza mediante successioni per oscillazioni con fase comune, anche del tipo 1/(x−a)^m, riepiloghi didattici dell’oscillazione con valori esatti e grafici che segnalano le oscillazioni troppo fitte e sviluppi laterali con valore assoluto e radicali. Certifica inoltre il dominio di alcune espressioni sempre non negative, come 1−cos(x) e quadrati, senza basarsi sul grafico. Non sono disponibili tutte le composizioni: de l'Hôpital viene applicato solo quando le ipotesi sono controllate e la forma resta 0/0. Le oscillazioni, l’analisi dei poli e le regole all’infinito sono limitate alle famiglie documentate; la presenza di singolarità non garantisce che il grafico numerico le rappresenti tutte. I valori numerici del grafico non costituiscono una dimostrazione.