Algebra lineare e matrici
Lavora su matrici, sistemi lineari, vettori, spazi vettoriali, autovalori e trasformazioni lineari, con Gram-Schmidt, LU, QR, SVD e pseudoinversa. I calcoli esatti, quando disponibili, mostrano il procedimento.
Versione 2.0 Beta. Funzionalità principali consolidate: i risultati numerici approssimati restano distinti dai calcoli esatti. Per impieghi importanti verifica sempre il risultato.
Scorri orizzontalmente per vedere tutte le sezioni.
LABORATORIO INTERATTIVO
Imposta il calcolo
RISULTATO ESATTO
Risultato
Procedimento passo dopo passo
Nei metodi di Gauss mostro il pivot, il calcolo del moltiplicatore, la sostituzione nella formula e la matrice ottenuta.
Pivot utilizzato Coefficiente annullato
Come interpretare il risultato · Determinante, rango e invertibilità
Per una matrice quadrata, det(A) ≠ 0 equivale al rango massimo e all’esistenza dell’inversa. Una matrice rettangolare può avere rango, ma non un determinante complessivo. Gli scambi di righe cambiano il segno del determinante; sommare un multiplo di una riga a un’altra lo conserva.
LABORATORIO INTERATTIVO
Risolvi un sistema lineare
RISOLUZIONE ESATTA
Soluzioni del sistema
Procedimento passo dopo passo
I passaggi rispettano il metodo selezionato. Con Rouché-Capelli si distinguono la matrice A, la matrice aumentata [A | b], i due ranghi e la classificazione, senza risolvere il sistema.
Come interpretare il risultato · Compatibilità non significa soluzione calcolata
Confronto rango(A), rango([A | b]) e numero n delle incognite. Ranghi diversi: nessuna soluzione. Ranghi uguali a n: soluzione unica. Ranghi uguali ma minori di n: infinite soluzioni. Rouché-Capelli classifica; Gauss e Gauss-Jordan possono anche trovare le incognite.
LABORATORIO INTERATTIVO
Studio di un sistema con parametro
Inserisci il parametro reale a nei coefficienti o nei termini noti. Il programma cerca i valori critici e spiega quando il sistema è determinato, indeterminato o impossibile.
ANALISI PARAMETRICA ESATTA
Analisi dei casi
Procedimento passo dopo passo
Distinguo la matrice dei coefficienti dalla matrice aumentata, studio i minori per riconoscere dove i ranghi possono cambiare e classifico ogni caso. Quando possibile, mostro separatamente le formule di Cramer.
Come interpretare il risultato · Un valore critico va studiato, non scartato
Prima cerco i valori del parametro per i quali il rango può cambiare; poi sostituisco ciascun valore e ricalcolo separatamente rango(A) e rango([A | b]). Non posso dividere per un’espressione che vale zero proprio nel caso critico. Le eventuali radici irrazionali vengono classificate simbolicamente.
LABORATORIO INTERATTIVO
Operazioni con i vettori
Inserisci le componenti dei vettori e scegli un'operazione. Il laboratorio mostra il risultato, i calcoli delle componenti e il significato geometrico quando utile.
RISULTATO DEL CALCOLO
Risultato
Procedimento passo dopo passo
Ogni passaggio spiega la regola utilizzata e mostra i calcoli con le singole componenti.
Come interpretare il risultato · Dipendenza e angoli
Vettori indipendenti: rango uguale al numero di vettori. Vettori dipendenti: almeno uno è combinazione degli altri. Il prodotto scalare nullo significa ortogonalità, ma l’angolo non è definito se uno dei due vettori è nullo. Il prodotto vettoriale richiede tre componenti.
LABORATORIO INTERATTIVO
Spazi vettoriali e applicazioni lineari
Le colonne di A sono vettori. Studia lo spazio che generano, verifica se un altro vettore vi appartiene o calcola il nucleo dell'applicazione lineare associata.
RISULTATO ESATTO
Risultato
Procedimento passo dopo passo
Mostro i passaggi di Gauss-Jordan, gli eventuali pivot e le spiegazioni dell’operazione selezionata.
Come interpretare il risultato · Basi di nucleo e immagine
Una base dell’immagine si sceglie fra le colonne della matrice originale corrispondenti ai pivot, non nella matrice ridotta. Una base del nucleo si trova risolvendo Ax=0 e assegnando un parametro a ogni variabile libera. Per A di dimensione m×n vale sempre rango(A) + nullità(A) = n.
LABORATORIO INTERATTIVO
Autovalori, autovettori e diagonalizzazione
Data una matrice quadrata A, calcolo il polinomio caratteristico, individuo gli autovalori, risolvo i sistemi (A − λI)v = 0 e verifico quando esiste una diagonalizzazione.
ANALISI SPETTRALE
Autovalori
Procedimento passo dopo passo
Individuo il polinomio caratteristico, gli autovalori e, quando possibile, le basi degli autospazi. Per la diagonalizzazione controllo l'identità A = PDP⁻¹.
Come interpretare il risultato · Autovalori ripetuti e campi numerici
Per ogni autovalore λ risolvo (A−λI)v=0. La molteplicità geometrica è la dimensione di questo nucleo, non il numero di volte in cui λ compare nel polinomio. La matrice è diagonalizzabile se la somma delle dimensioni degli autospazi è n: specificare sempre se il campo è ℝ oppure ℂ.
LABORATORIO INTERATTIVO
Trasformazioni lineari nel piano
Una matrice 2×2 trasforma i punti del piano, i vettori e le figure. Osserva come cambiano il quadrato unitario, gli assi della base e l'area. Puoi trascinare il vettore nel grafico.
RISULTATO ESATTO
Trasformazione del piano
Procedimento passo dopo passo
Mostro come la matrice agisce sui vettori di base, come calcolo A·u e perché il determinante misura l'area orientata.
Come interpretare il risultato · Area e orientamento
In 2D, |det(A)| è il fattore di scala dell’area. Se det(A)>0 l’orientamento è conservato; se det(A)<0 è invertito. Se det(A)=0 il quadrato collassa e l’orientamento non è definito. Per una rotazione o una riflessione il quadrato resta un quadrato congruente.
LABORATORIO INTERATTIVO
Fattorizzazioni, SVD e minimi quadrati
Scegli un metodo e inserisci la matrice. Gram-Schmidt, LU, QR e minimi quadrati a rango pieno usano frazioni esatte. La SVD e la pseudoinversa utilizzano calcoli numerici approssimati, con verifica degli errori.
CALCOLO ESATTO
Risultato
Procedimento passo dopo passo
Mostro le trasformazioni, i moltiplicatori, le proiezioni e le verifiche. I radicali della QR restano in forma esatta.
Come interpretare il risultato · Ipotesi dei metodi e precisione
LU con pivot verifica PA=LU; anche una matrice singolare può ammettere la fattorizzazione, ma non una soluzione unica di Ax=b. La QR sottile e i minimi quadrati esatti richiedono rango pieno delle colonne. SVD, pseudoinversa e proiettori sono numerici; mostro frazioni esatte solo se certificate dalle identità di Moore-Penrose.
Come funziona il calcolatore?
Calcoli esatti. Le operazioni algebriche usano frazioni: un numero come 1/3 rimane una frazione. Norme e distanze vengono mostrate con radicali quando necessario; gli angoli sono approssimati in gradi.
Matrici e sistemi. Per i determinanti posso applicare Gauss, Sarrus o Laplace; per i sistemi lineari sono disponibili Gauss, Gauss-Jordan, Cramer e Rouché-Capelli. Quest'ultimo classifica il sistema confrontando i ranghi, senza calcolare le soluzioni. I sistemi parametrici distinguono i valori critici del parametro.
Vettori. Posso sommare vettori, calcolare prodotti, norme, distanze, proiezioni, angoli e indipendenza lineare. Le operazioni mostrano le singole componenti; nel piano è disponibile anche una rappresentazione geometrica.
Spazi vettoriali. Calcolo basi, dimensione, appartenenza, nucleo, immagine e verifica del teorema rango-nullità usando l’eliminazione di Gauss-Jordan con passaggi esatti.
Trasformazioni 2D. Il grafico SVG mostra quadrati, griglie, vettori di base e vettori trascinabili prima e dopo la trasformazione, con il ruolo geometrico del determinante e dell’invertibilità.
Autovalori. Studio matrici 2×2 e 3×3, polinomi caratteristici, autospazi, molteplicità e diagonalizzazione. Sono esatti i casi con radici razionali o radicali quadratici; i cubici non fattorizzabili sono presentati con valori approssimati esplicitamente segnalati.
Metodi avanzati. Gram-Schmidt, LU con scambi, QR sottile e minimi quadrati a rango pieno con frazioni esatte. La SVD compatta e la pseudoinversa di Moore-Penrose permettono anche proiettori ortogonali, minimi quadrati a rango non pieno e sistemi sottodeterminati; la SVD utilizza calcoli numerici, mentre le pseudoinverse razionali sono mostrate come esatte solo dopo certificazione. Per i proiettori su sottospazi di R³ è disponibile un grafico orientabile che mostra la componente proiettata e il residuo.