La decomposizione dello spazio vettoriale

La decomposizione dello spazio vettoriale è la trasformazione di ciascun elemento dello spazio nella somma di due sottospazi vettoriali.

Dato uno spazio vettoriale V sul campo K e due sottospazi vettoriali A e B, se A+B=V allora per ogni v∈V esistono due elementi a∈A e b∈B tali che a+b=v.

$$ se \; A+B=V $$
$$ \forall v \in V \; \rightarrow \; a \in A , b \in B : a+b=v. $$
La decomposizione è unica se i sottospazi vettoriali sono sottospazi supplementari.
$$ A \oplus B = V $$

    Dimostrazione

    Unicità della decomposizione

    Per assurdo ipotizzo che la decomposizione non sia unica e i sottospazi A e B siano supplementari.

    Sia v un elemento qualsiasi dello spazio vettoriale.

    $$ v \in V $$

    Esistono per assurdo due somme uguali a v

    $$ a + b = v $$

    $$ a' + b' = v $$

    con

    $$ a,a' \in A $$

    $$ b,b' \in B $$

    Se le due somme sono uguali a v, allora sono uguali anche tra loro

    $$ a+b = a'+b' $$

    Raggruppo gli elemento di A nel membro di sinistra e quelli di B a destra

    $$ a+a' = b+b' $$

    Essendo A un sottospazio vettoriale, la somma a+a' è un elemento di A

    Allo stesso modo, essendo B un sottospazio vettoriale, la somma b+b' è un elemento di B

    $$ a+a' \in A $$

    $$ b+b' \in B $$

    Quindi v è compreso nell'intersezione A ⋂ B.

    $$ v \in A \cap B $$

    Sapendo che nei sottospazi speculari l'intersezione A ⋂ B è uguale al vettore nullo { 0 }.

    $$ A \cap B = \{ 0 \} $$

    Ne deriva che

    $$ v = 0 $$

    $$ a+a'=0 $$

    $$ b+b'=0 $$

    Pertanto

    $$ a'=a $$

    $$ b'=b $$

    Nelle due somme a+b e a'+b gli elementi sono identici.

    Pertanto, la decomposizione è unica.

     


     

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