La differenza tra implicazione e deduzione
L'implicazione e la deduzione sono spesso confuse tra loro perché sono rappresentate dallo stesso simbolo, una freccia verso destra (⇒). In realtà, hanno un significato diverso a seconda del contesto in cui si utilizzano.
Qual è la differenza? La deduzione ha un significato più limitato rispetto all'implicazione.
L'implicazione si utilizza nella logica matematica. La deduzione, invece, si utilizza nella dimostrazione dei teoremi ( matematica ) o di una tesi ( ragionamento logico ).
Nota. Spesso per distinguere l'implicazione dalla deduzione si usa il simbolo → per l'implicazione e il simbolo ⇒ per la deduzione.
L'implicazione logica
L'implicazione è un connettivo logico che lega formalmente una proposizione antecedente p con una proposizione conseguente q.
Se la proposizione antecedente p è vera allora la proposizione conseguente q è vera.
Nell'implicazione non c'è una relazione di causa ed effetto nell'implicazione "se ... allora"
L'implicazione A→B è vera anche quando la proposizione A è falsa.
Esempio. Quando sono al cinema (p) compro i pop corn (q). E viceversa, quando non sono al cinema (¬p) non compro i pop corn (¬q). E' un esempio di implicazione logica. E' una relazione molto forte, perché esclude che io compri i pop corn per mangiarli a casa o altrove. Li compro soltanto al cinema.
Inoltre, non è importante che la proposizione p sia effettivamente vera. Non devo dimostarlo.
Potrebbe anche essere un'affermazione assurda.
Ciò che conta è che sia formalmente corretto il ragionamento logico.
Esempio. In un'implicazione logica potrei affermare "se sono sulla Luna (p) compro i pop corn (q)". L'implicazione logica è comunque valida perché è formalmente corretta. Poco importa che non abbia senso dal punto di vista semantico.
La deduzione
La deduzione è una forma di ragionamento detta anche modus ponens.
In matematica il simbolo ⇒ è usato nella dimostrazione dei teoremi con il significato di deduzione.
Nella dimostrazione di un teorema, se la proposizione antecedente p (ipotesi) è vera, allora la proposizione conseguente q (tesi) è vera.
Apparentemente la deduzione sembra simile all'implicazione logica ma non è così.
Quali sono le differenze con l'implicazione?
Ci sono soprattutto due importanti differenze:
- Nella deduzione non è dimostrato il caso contrario, ossia se p è falsa allora q è falsa.
Esempio. Quando sono al cinema (p) compro i pop corn (q). E' un esempio di deduzione. Si tratta di una relazione debole perché non esclude che io compri i pop corn anche per mangiarli a casa davanti alla tv. Forse si, forse no. La deduzione si limita a dire che quando sono al cinema io compro sempre i pop corn.
- Nella deduzione devo dimostrare che la proposizione p (ipotesi) sia effettivamente vera, perché da premesse false potrei giungere a una conclusione formalmente corretta ma falsa.
Esempio 1. La frase "se sono sulla Luna (p) compro i pop corn (q)" non è una deduzione. Dovrei dimostrare di essere sulla Luna. Non essendo possibile dimostrare la proposizione ipotesi (p), anche la deduzione p⇒q non è verificabile.
Esempio 2. La frase "se la strada è bagnata allora piove" si basa su una premessa falsa. La strada potrebbe essere bagnata anche per altri motivi (es. pulizia della strada, guasto alle tubature, ecc.). Basandomi su questa premessa falsa potrei giungere alla falsa conclusione che sta piovendo solo perché vedo la strada bagnata. Viceversa, la frase "se piove allora la strada è bagnata" è una premessa vera che dà origine a una conclusione vera: piove, quindi la strada è bagnata.
Questi due aspetti importanti distinguono la deduzione dall'implicazione logica nel ragionamento logico.
Per questa ragione non vanno mai confusi tra loro.
In conclusione, l'implicazione e la deduzione hanno tavole di verità diverse.
In molti testi di logica matematica per distinguere l'implicazione dalla deduzione ed evitare confusione, si usa il simbolo → per l'implicazione e il simbolo ⇒ per la deduzione.
Nota. In generale nella deduzione logica non sono mai ammesse le forme di ragionamento del tipo $$ (A \rightarrow B ) ∧ B \Rightarrow A $$ $$ ( A \rightarrow B ) ∧ ¬A \Rightarrow ¬B $$ Dove con il simbolo → intendo il connettivo dell'implicazione materiale e con il simbolo ⇒ la deduzione.
