Il principio di indeterminazione di Heisenberg
Il principio di indeterminazione di Heisenberg stabilisce che non è possibile conoscere contemporaneamente con precisione arbitraria alcune coppie di grandezze fisiche, dette variabili coniugate, come la posizione e la quantità di moto di una particella.
Il principio di indeterminazione ha modificato profondamente il concetto classico di misura. E' uno dei fondamenti della meccanica quantistica.
Ad esempio, non posso conoscere la posizione e la quantità di moto di una particella. Se ottengo una informazione, non ottengo l'altra.
Va specificato che non si tratta di un limite dovuto agli strumenti di misura ma di una proprietà fondamentale della natura. Anche disponendo di strumenti perfetti, l'indeterminazione rimane.
Nota. Nella fisica quantistica alcune proprietà non possiedono valori simultaneamente determinati con precisione arbitraria. Quindi, l'indeterminazione non rappresenta un limite tecnologico né un difetto della teoria, ma una caratteristica fondamentale della natura. Comprendere questo principio significa comprendere uno degli aspetti più profondi della meccanica quantistica e della descrizione moderna del mondo microscopico.
La relazione di indeterminazione
La formulazione più nota riguarda la posizione e la quantità di moto.
$$ \Delta x \, \Delta p \ge \frac{\hbar}{2} $$
dove:
- \(\Delta x\) è l'incertezza sulla posizione;
- \(\Delta p\) è l'incertezza sulla quantità di moto;
- \(\hbar=\dfrac{h}{2\pi}\) è la costante di Planck ridotta.
La formula indica che il prodotto delle due incertezze non può mai essere inferiore a \(\hbar/2\).
Che cosa significa realmente?
Se aumento la precisione con cui conosco la posizione di una particella, aumenta inevitabilmente l'incertezza sulla sua quantità di moto.
Viceversa, se misuro con estrema precisione la quantità di moto, la posizione diventa sempre meno definita.
In altre parole, non è possibile annullare contemporaneamente entrambe le incertezze.
Ad esempio, se cerco di stabilire l'esatta posizione della particella, si riduce la variabile Δx.
Tuttavia, essendoci soltanto costanti al secondo membro, deve necessariamente aumentare l'incertezza sulla quantità di moto Δp. E viceversa.
Un esempio intuitivo
Supponiamo di voler osservare un elettrone.
Per vederlo è necessario illuminarlo con un fotone. Quando il fotone colpisce l'elettrone gli trasferisce una parte della propria quantità di moto modificandone il movimento.
Se utilizzo fotoni molto energetici (lunghezza d'onda molto piccola), riesco a determinare meglio la posizione dell'elettrone, ma il fotone altera fortemente la sua velocità.
Se invece utilizzo fotoni meno energetici (lunghezza d'onda più grande), il disturbo sul moto è minore, ma la posizione diventa più incerta.
Il microscopio di Heisenberg
Heisenberg illustrò questo concetto mediante un esperimento mentale noto come microscopio a raggi gamma.
Esistono due situazioni estreme.
- Alta risoluzione. La lunghezza d'onda è molto piccola. La posizione viene determinata con elevata precisione, ma il fotone trasferisce molta energia alla particella alterandone la quantità di moto.
- Bassa risoluzione. La lunghezza d'onda è maggiore. La particella viene disturbata molto meno ma la posizione è meno precisa a causa dei limiti ottici.
Questo esperimento mostra il compromesso inevitabile tra le due misure.
L'origine ondulatoria del principio
Il principio di indeterminazione non dipende soltanto dal processo di misura. Nasce anche dalla natura ondulatoria della materia introdotta dall'ipotesi di de Broglie.
Ogni particella è descritta da una funzione d'onda. La posizione e la quantità di moto sono legate matematicamente tramite la trasformata di Fourier.
Una funzione molto localizzata nello spazio richiede necessariamente una sovrapposizione di molte lunghezze d'onda differenti. Di conseguenza aumenta l'incertezza sulla quantità di moto.
La formulazione matematica
La prima dimostrazione rigorosa fu ottenuta da Kennard nel 1927.
$$ \sigma_x \sigma_p \ge \frac{\hbar}{2} $$
In questa formulazione le incertezze sono rappresentate dalle deviazioni standard della distribuzione di probabilità.
La non commutatività degli operatori
Nella meccanica quantistica ogni grandezza fisica è rappresentata da un operatore.
Gli operatori posizione e quantità di moto non commutano.
$$ [\hat{x},\hat{p}] = i\hbar $$
La mancata commutatività implica che non esiste alcuno stato quantistico nel quale posizione e quantità di moto possano essere entrambe perfettamente determinate.
Altre relazioni di indeterminazione
Il principio non riguarda soltanto posizione e quantità di moto. Esistono molte altre coppie di variabili coniugate.
Energia e tempo
$$ \Delta E \, \Delta t \gtrsim \frac{\hbar}{2} $$
Questa relazione spiega diversi fenomeni fisici.
- la vita media degli stati eccitati;
- la larghezza naturale delle righe spettrali;
- l'esistenza temporanea delle particelle virtuali nella teoria quantistica dei campi.
Momento angolare
$$ \sigma_{J_i}\sigma_{J_j} \ge \frac{\hbar}{2} \left| \langle J_k\rangle \right| $$
Le diverse componenti del momento angolare non possono essere conosciute contemporaneamente con precisione arbitraria.
Numero di particelle e fase
Nei superconduttori compare anche la relazione
$$ \Delta N \, \Delta \phi \ge 1 $$
che lega il numero di elettroni alla fase del parametro d'ordine.
Il dibattito tra Einstein e Bohr
Il principio di indeterminazione diede origine a uno dei più importanti dibattiti della storia della fisica.
Albert Einstein riteneva che la meccanica quantistica fosse una teoria incompleta. Pur riconoscendone l'efficacia nel descrivere i fenomeni osservati, sosteneva che dovessero esistere variabili nascoste capaci di descrivere completamente lo stato delle particelle e di restituire una visione deterministica della realtà.
La celebre frase "Dio non gioca a dadi" riassume efficacemente questa posizione, esprimendo il rifiuto di considerare il carattere probabilistico della teoria come una proprietà fondamentale della natura.
Niels Bohr difese invece l'interpretazione di Copenaghen, sostenendo che l'indeterminazione fosse una caratteristica fondamentale della realtà microscopica e non un limite della teoria.
Bohr rispose alle obiezioni di Einstein difendendo la coerenza della meccanica quantistica. Il confronto tra i due scienziati proseguì per molti anni e contribuì ad approfondire i fondamenti della teoria.
Il paradosso EPR
Nel 1935 Einstein, Podolsky e Rosen proposero un nuovo esperimento mentale, oggi noto come paradosso EPR.
L'obiettivo era mostrare che, se si assumeva valido il principio di località, la meccanica quantistica non poteva fornire una descrizione completa della realtà fisica. Secondo gli autori, una teoria più completa avrebbe potuto includere variabili nascoste in grado di descrivere pienamente lo stato delle particelle.
Il paradosso diede impulso agli studi sull'entanglement quantistico e sulla non località. Molti anni dopo, il teorema di Bell e le successive verifiche sperimentali mostrarono che le teorie basate su variabili nascoste locali non sono compatibili con i risultati sperimentali, mentre le previsioni della meccanica quantistica risultano confermate.
La critica di Popper
Il filosofo Karl Popper criticò l'interpretazione di Copenaghen e sostenne una lettura statistica delle relazioni di indeterminazione, ritenendo che esse descrivessero gli insiemi di particelle piuttosto che le proprietà di una singola particella. La sua posizione contribuì ad alimentare il dibattito filosofico sull'interpretazione della meccanica quantistica, pur senza modificare le previsioni sperimentali della teoria.
Gli sviluppi moderni
Le formulazioni moderne hanno esteso il principio originale.
L'indeterminazione entropica
Invece della deviazione standard viene utilizzata l'entropia di Shannon per misurare l'incertezza. Questo approccio è più generale e descrive correttamente anche distribuzioni di probabilità particolarmente complesse.
La relazione di Ozawa
Masanao Ozawa ha distinto l'incertezza intrinseca del sistema dal disturbo introdotto dallo strumento di misura.
$$ \varepsilon_A\eta_B + \varepsilon_A\sigma_B + \sigma_A\eta_B \ge \frac12 \left| \langle[\hat A,\hat B]\rangle \right| $$
Questa relazione generalizza il principio originale di Heisenberg distinguendo chiaramente tra errore di misura e disturbo prodotto durante l'osservazione.
